Linearisierte Gleichungen

I) In dieser Antwort diskutieren wir einen systematischen Ansatz zur Linearisierung und Stabilitätsanalyse . Stellen Sie sich vor, dass das betrachtete physikalische System durch eine autonome Lagrange-Funktion beschrieben wird$L=L(q,\dot{q})$von$n$ verallgemeinerte Koordinaten

$$q~=~(q^1, \ldots, q^n)~\in~ \mathbb{R}^n.\tag{1}$$

Eine der ersten Fragen, die man stellen möchte, ist, ob ein bestimmter Punkt$q_{(0)}$ist ein stabiler Gleichgewichtspunkt oder nicht? Dies wird erreicht, indem die Wirkung kleiner Verschiebungen analysiert wird$u := q-q_{(0)}$ab diesem Zeitpunkt$|u|\ll 1$. Damit erweitern wir die Lagrange-Funktion$L$nach quadratischer Ordnung in$u$Und$\dot{u}$:

$$L(u,\dot{u}) ~=~ \frac{1}{2}M_{ij}\dot{u}^i\dot{u}^j + \frac{1}{2}B_{ij}u^i\dot{u}^j -\frac{1}{2}K_{ij}u^iu^j + f_i u^i. \tag{2}$$

Ein quadratischer Lagrange entspricht linearen Bewegungsgleichungen. Man sagt, die Theorie sei linearisiert worden. In Gl. (2) Wir haben (i) Terme höherer Ordnung vernachlässigt, weil$|u|,|\dot{u}|\ll 1$; (ii) konstante Terme und Terme der gesamten Ableitung, die die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht beeinflusst hätten . In ähnlicher Weise können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die reelle Matrix

$$B~=~-B^{t}\tag{3}$$

ist antisymmetrisch (weil der symmetrische Teil der$B$Matrix entspricht einer totalen Ableitung in der Lagrangefunktion). Wir können auch ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die reellen Matrizen

$$M~=~M^t\tag{4}$$

Und

$$K~=~K^{t}\tag{5}$$

sind symmetrisch. (OP bezeichnet die$K$Matrix durch$V$.) Die Matrix$B$hat eine Interpretation als verallgemeinertes dualisiertes Magnetfeld;

$$A_j~:=~ \frac{1}{2} u^i B_{ij}\tag{6}$$

ein verallgemeinertes magnetisches Potential ist; Die$K$Matrix besteht aus verallgemeinerten gekoppelten Federkonstanten in einem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz ; und das$M$Matrix ist verallgemeinerte Masse. Hier nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Legendre-Transformation zum Hamilton-Formalismus nichtsingulär ist, um keine Beschränkungen zu haben. Das bedeutet, dass die Matrix$M$ist kein Singular,$\det(M)\neq 0$. [Es ist immer möglich, die Verschiebungskoordinaten zu drehen

$$u^{\prime i} ~:=~ R^i{}_j u^j\tag{7}$$

durch eine orthogonale Matrix$R$um die Massenmatrix zu diagonalisieren$M={\rm diag}(m_1, \ldots, m_n)$. Durch positive Skalierungstransformationen

$$u^{\prime i} ~:=~ \lambda^i u^i, \qquad \lambda^i~>~0,\tag{8}$$

Es ist möglich, alle Massen zu machen$m_1, \ldots, m_n$, gleich$\pm 1$. Die Transformationen (7) und (8) zerstören nicht die Eigenschaft (3) und (5).]

II) Lassen Sie uns nun rechnen. Die kanonischen Impulse sind

$$\begin{align} p_i ~=~& \frac{\partial L}{\partial \dot{u}^i} \cr ~=~& M_{ij}\dot{u}^j+ A_i\cr ~=~& M_{ij}\dot{u}^j- \frac{1}{2} B_{ij}u^j.\end{align} \tag{9}$$

Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten

$$\begin{align} \dot{p}_i ~=~& \frac{1}{2} B_{ij} \dot{u}^j- K_{ij}u^j + f_i \cr\cr~\Updownarrow~&\cr\cr M_{ij}\ddot{u}^j ~=~& B_{ij} \dot{u}^j- K_{ij}u^j + f_i .\end{align}\tag{10}$$

Die Energiefunktion ist definiert als

$$\begin{align} h(u,\dot{u})~:=~& p_i \dot{u}^i - L \cr ~=~&\frac{1}{2}M_{ij}\dot{u}^i\dot{u}^j +\frac{1}{2}K_{ij}u^iu^j - f_i u^i .\end{align}\tag{11}$$

Der Hamiltonianer liest

$$\begin{align} H(u,p) ~=~&\frac{1}{2}(p-A)^t M^{-1}(p-A) + \frac{1}{2}u^t K u -f^t u\cr ~=~&\frac{1}{2}p^t M^{-1}p + \frac{1}{2}p^t M^{-1}Bu \cr &+ \frac{1}{2}u^t (K+ \frac{1}{4}B^tM^{-1}B)u - f^t u.\end{align}\tag{12}$$

Hamiltons Bewegungsgleichungen sind eine gekoppelte ODE erster Ordnung

$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} u \\ p \end{bmatrix} ~=~C \begin{bmatrix} u \\ p \end{bmatrix},\tag{13}$$

Wo

$$C~:=~\begin{bmatrix}\frac{1}{2} M^{-1}B& M^{-1} \\ -K+ \frac{1}{4}BM^{-1}B & \frac{1}{2}BM^{-1}\end{bmatrix}\tag{14}$$

ist eine Konstante$2n\times 2n$reelle Matrix (die vom Punkt abhängt$q_{(0)}$). Nehmen wir an, die Matrix$C$ist diagonalisierbar.$^1$

III) Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür$q_{(0)}$ist ein Gleichgewichtspunkt$\forall t:u(t)=0$ist offensichtlich, dass die Quellterme verschwinden

$$\forall t: f(t)~=~0,\tag{15}$$

vgl. Gl. (10). Nehmen wir ab jetzt Bedingung (15) an.

IV) Lassen Sie uns abschließend die Bedingungen für den Gleichgewichtspunkt diskutieren${\bf q}_{(0)}$ist stabil.

Aus hamiltonscher Sicht ist eine notwendige (hinreichende) Stabilitätsbedingung, dass der Realteil von$C$Die Eigenwerte von sind jeweils nicht positiv (negativ). (In der Lücke zwischen den oben genannten notwendigen und hinreichenden Bedingungen müssen auch Beiträge von Termen höherer Ordnung analysiert werden.)

Betrachten Sie aus einer Lagrange-Perspektive die charakteristische Gleichung

$$\det(K-\lambda B + \lambda^2M)~=~0. \tag{16}$$

Eine notwendige (ausreichende) Stabilitätsbedingung ist, dass der reale Teil der Wurzeln$\lambda$jeweils nicht positiv (negativ) sind.

Die Stabilitätsbedingung vereinfacht sich erheblich, wenn wir davon ausgehen, dass keine Magnetfelder vorhanden sind$B=0$. In diesem Fall ist dies eine notwendige Stabilitätsbedingung$M^{-1}K$Die Eigenwerte von sind reell und nicht negativ. (Um ausreichende Stabilitätsbedingungen zu erhalten, ist es wiederum notwendig, auch Beiträge von Termen höherer Ordnung zu analysieren.)

V) In der Physik setzen wir üblicherweise auch voraus, dass der Hamiltonoperator (12) nach unten beschränkt ist, vgl. Einheitlichkeit . Im allgemeinen Fall (mit$B$enthalten), ist die Unitarität (auf der linearisierten Ebene) äquivalent zu der der Matrix$M$positiv definit ist und die Matrix$K$ist semipositiv . (Denken Sie daran, dass wir das zuvor angenommen haben$M$hat keine Nullrichtungen, während$K$im Prinzip Nullrichtungen/Nullmoden haben könnte. ZB freie Teilchen hätten$K=0$.)

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$^1$Ich habe ein vages Gefühl, dass die Diagonalisierbarkeit von$C$ist eine unnötige Annahme, dh dass die Matrix$C$ist automatisch diagonalisierbar.

Was ist$V_{ab}$? Also,$V_{ab}$ist die "symmetrische, positive definite potentielle Energiematrix".

Ok lol, ich trolle hier, aber wie der Name schon sagt,$V_{ab}$beschreibt die Stärke der (linearisierten) Wechselwirkung zwischen Teilchen$a$Und$b$. Genauer gesagt ist es die zweite Ableitung der potentiellen Energiefunktion des Systems in Bezug auf$u_a$Und$u_b$, am Gleichgewichtspunkt ausgewertet. So,$V_{ab}$ist eine Sammlung von$N \times N$reelle Zahlen, die Konstanten sind .

Was bedeutet es, eine Gleichung zu linearisieren? Es bedeutet, nur Terme zu behalten, die proportional zum Abstand sind$u$und unten in der Taylorentwicklung der eigentlichen Funktion.

Wie linearisieren wir beispielsweise die Funktion$y(x) = e^x$über den Punkt$x_0=0$? Das heißt, wir wollen beschreiben$y(x)$bis zu Bedingungen in$(x-x_0) = x-0= x$nur. Nun die Taylorentwicklung von$e^x$Ist$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$so ist die linearisierte Gleichung$y(x) = 1+x$. So,$y(x)$kann beschrieben werden durch$1 + x$, und die Vereinbarung zwischen$e^x$Und$1 + x$wird beliebig gut wie$x \to 0$.

Also in Ihrem Fall von$N$Teilchen sind die Kräfte zwischen zwei beliebigen Teilchen durch eine möglicherweise (kein Wortspiel beabsichtigt) komplizierte Funktion der Koordinaten gegeben, aber wir möchten nur sehr kleine Abweichungen von der Gleichgewichtsposition betrachten, daher „linearisieren“ wir sie. Also die Gesamtkräfte aller anderen Teilchen auf Teilchen$a$muss aussehen$\sum_b V_{ab} u_b$. Warum wir uns nur um kleine Abweichungen vom Gleichgewicht kümmern, ist eine ganz andere Frage. Es ist eine physikalische Frage. Der Grund liegt darin, dass wir charakterisieren möchten, um welche Art von Gleichgewicht es sich handelt, ob es stabil oder instabil ist und welche Schwingungsfrequenz es zulässt, und es reicht aus, es nur anzusehen$V_{ab}$die die Wechselwirkung dominiert, vorausgesetzt, Ihre Abweichung vom Gleichgewicht ist gering.

Was Ihre Frage betrifft, was ist eine symmetrische, positiv bestimmte Matrix? Diese Begriffe gelten nur für eine quadratische Matrix. Eine Matrix$M$(mit reellen Koeffizienten) ist symmetrisch, wenn$M = M^T$, dh seine Transponierte. In Komponenten bedeutet es$M_{ij} = M_{ji}$. Eine positiv bestimmte Matrix (normalerweise nur auf symmetrische/hermitische Matrizen angewendet) bedeutet dies für jeden Vektor$w$,$w^T M w > 0$. Dies ist auch gleichbedeutend mit der Tatsache, dass die Eigenwerte von$M$sind alle$> 0$. Physikalisch garantiert dies, dass das Gleichgewicht, das wir haben, stabil ist (die Schwingungsfrequenz hängt von der Quadratwurzel der Eigenwerte ab).

Nun, von dem, was ich geschrieben habe, sollten Sie in der Lage sein, die Form von herauszufinden$V_{ab}$und zeigen Sie daher, warum es sich um eine positiv definite, symmetrische Matrix handelt.