Wie findet man die Stelle, an der drei Teilchen m1a1=m2a2m1a1=m2a2m_1 a_1 = m_2 a_2 gehorchen, wenn zwei der Teilchen einen zusammengesetzten Körper bilden?

Aus Klassische Mechanik von Kibble:

Betrachten Sie ein System aus drei Teilchen der Masse m, deren Bewegung durch (1.9) beschrieben wird. Betrachtet man die Teilchen 2 und 3, obwohl sie nicht fest miteinander verbunden sind, als einen zusammengesetzten Körper der Masse 2m, der sich im Mittelpunkt befindet R = 1 2 ( R 2 + R 3 ) , finden Sie die Gleichungen, die die Bewegung des Zweikörpersystems aus Teilchen 1 und dem zusammengesetzten Körper (2+3) beschreiben. Welche Kraft wirkt durch Teilchen 1 auf den Verbundkörper? Zeigen Sie, dass die Gleichungen mit (1.7) übereinstimmen. Wenn die Massen ungleich sind, was ist die korrekte Definition der Position der Zusammensetzung (2 + 3), die dazu führt, dass (1.7) immer noch gilt?

(1.9) ist

M 1 A 1 = F 12 + F 13 , M 2 A 2 = F 21 + F 23 , M 3 A 3 = F 32 + F 31 .

(1.7) ist

M 1 A 1 = − M 2 A 2

Ich habe also den ersten Teil gemacht, aber ich weiß nicht, wie ich den Teil in Kursivschrift machen soll. Anscheinend ist die Antwort

R = M 2 R 2 + M 3 R 3 M 2 + M 3 ,
aber ich verstehe nicht, woher diese Antwort kommt.

Jede Hilfe wäre willkommen. Danke schön.

Antworten (1)

Treten Sie zunächst einen Schritt zurück und beachten Sie, dass dieses Ergebnis intuitiv sein sollte. Die angegebene Formel ist der gewichtete Durchschnitt von R 2 , R 3 wobei jede Position entsprechend ihrer Masse proportional dazu beiträgt. Dh die Gesamtmasse ist M 23 = M 2 + M 3 , und dann die Stellung R 2 macht aus M 2 M 23 von R Und R 3 macht aus M 3 M 23 von R . Das Ergebnis R (ab jetzt nenne ich es R 23 ) heißt Massenmittelpunkt der Objekte 2 und 3.

Sie können dies algebraisch finden, indem Sie postulieren, dass die kombinierte Masse der Objekte sein sollte M 23 = M 2 + M 3 und dann versuchen, die Beschleunigung zu finden, die sie in der Nettokraft multipliziert. Fügen Sie (1.9.ii) und (1.9.iii) hinzu und Sie erhalten

M 2 A 2 + M 3 A 3 = − M 1 A 1 .
Wir wollen die LHS schreiben als M 23 A 23 , also einfach zwangsweise ausklammern M 2 + M 3 aus dem vorhandenen Ausdruck und rufen Sie auf, was übrig bleibt A 23 .

M 2 A 2 + M 3 A 3 = ( M 2 + M 3 ) ⏟ M 23 ( M 2 A 2 + M 3 A 3 M 2 + M 3 ) ⏟ A 23 .

Integrieren A 23 und du hast R 23 wie gegeben.

Okay, das ergibt Sinn. Obwohl ich mit Analysis gut vertraut bin, hatte ich nicht erwartet, dass sie hier benötigt wird. Allerdings verstehe ich jetzt, was los ist, also danke für deine Antwort.
Wie findet man die Stelle, an der drei Teilchen m1a1=m2a2m1a1=m2a2m_1 a_1 = m_2 a_2 gehorchen, wenn zwei der Teilchen einen zusammengesetzten Körper bilden?
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