Lagrange-Operator der Dehnungsmodus-Vibration des Acetylen-Moleküls

Eigentlich ist das Teil einer Hausaufgabe in meinem klassischen Mechanikunterricht. Die Frage erfordert, dass ich die Eigenfrequenzen der Biege- und Streckmodi des Acetylenmoleküls unter der harmonischen Näherung herleite.

Für das Molekül$\rm H-C\equiv C-H$, mit Massen der Atome$m_{\rm H}$Und$m_{\rm C}$, Steifheit der Bindungen$k_{CC}$Und$k_{HC}$, und Gleichgewichtslängen der Bindungen$l_{CC}$Und$l_{CH}$. Wenn wir die Atome von links nach rechts aufzählen, sollten wir die Lagrange-Funktion für den Streckungsmodus haben

$$L = \frac{m_H}{2}(\dot{x_1}^2 + \dot{x_4}^2) + \frac{m_C}{2}(\dot{x_2}^2 + \dot{x_3}^2) - \frac{k_{HC}}{2}[(x_4 - x_3 - l_{HC})^2 + (x_2 - x_1 - l_{HC})^2] - \frac{k_{CC}}{2}[(x_3 - x_2 - l_{CC})^2].$$

Natürlich verlangen wir, dass der Gesamtimpuls und der Drehimpuls Null sind, um Translationen und Rotationen des Moleküls als Ganzes zu entfernen.

Und ein Teil des Hinweises für die Frage meines Professors lautet wie folgt:

Vereinfachen Sie die Lagrange-Funktion, indem Sie die Symmetrie untersuchen. Denken Sie sorgfältig über die gute Wahl verallgemeinerter Koordinaten nach, erinnern Sie sich an symmetrische/antisymmetrische Modi.

Ich weiß das von der verschwindenden Impulsannahme, wir haben

$$m_H(u_1 + u_4) + m_C(u_2 + u_3) = 0,$$ Wo$u_i$ist die Ableitung von Atom$i$aus seiner Gleichgewichtslage. Aber wie kann ich daraus und der Symmetrie des Moleküls die Lagrange-Funktion vereinfachen? Jede Hilfe wird sehr geschätzt! :)