Verändert die gekrümmte Raumzeit das Raumvolumen?

Bei einer Frage wie dieser müssen Sie fragen, wozu sich die Lautstärke relativ ändert. Es ist also etwas zweideutig.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet jedoch "ja" im folgenden eingeschränkten Sinne.

Stellen Sie sich vor, Sie hätten einen „Schwarm“ von Testobjekten, deren Masse so gering ist, dass ihre Auswirkung auf die Raumzeit um sie herum vernachlässigbar ist. Nehmen Sie an, dass sie sich im freien Fall befinden, dh alle folgenden Raumzeit-Geodäten. Der Schwarm hat eine Form mit Volumen; Nehmen wir an, es ist eine Kugel und ihre geodätischen Pfade führen sie durch die Raumzeit mit unterschiedlicher Krümmung. Nehmen wir weiter an, unsere Weltraumbienen signalisieren ihrer Königin, dass sie jederzeit ihre Distanz zu ihren Artgenossen ermitteln kann.

Dann wird die Königin im Allgemeinen feststellen, dass sich der Abstand zu ihren Gefährten gemäß der geodätischen Abweichungsgleichung ändert (siehe auch Misner, Thorne und Wheeler, „Gravitation“, Kapitel 1 für eine großartige intuitive Erklärung). Sie wird also eine Volumenänderung ihres Schwarms wahrnehmen.

Tatsächlich gibt es ein Tensorobjekt, dessen primäre Bedeutung die Volumenänderung ist. Schreibt man die Koordinaten des Schwarms der Königin in Riemann-Normalkoordinaten (siehe auch Misner Thorne Wheeler Abschnitt 11.6), wobei die Position von etwas benannt wird, indem man einen Richtungsvektor (einen Tangentenvektor an die Raumzeit) und eine Entfernung entlang dieses Vektors nennt , dann das Volumenelement$\mathrm{d} V$, verglichen mit dem Volumenelement$\mathrm{d} V_f$man unter der Annahme einer flachen Raumzeit berechnen würde, wird durch den Ricci-Krümmungstensor definiert:

Tatsächlich kann man den vollen Krümmungstensor in Ausdrücke "zerlegen", die den Ricci-Tensor und den sogenannten Weyl-Tensor beinhalten. Ersteres misst, wie sich das Volumen unseres Schwarms ändert, letzteres sagt uns im Detail, wie sich die Form des Schwarms ändert, wenn der Schwarm frei fällt.

Sie könnten auch an Kapitel 42 von Band II mit dem Titel Curved Space der "Feynman Lectures on Physics" interessiert sein.

Einiges davon kann ich beantworten, und zwar so, dass es eine unveränderliche allgemeine relativistische Bedeutung hat. Allerdings keine allgemeingültige Antwort. Sie müssen und können die Krümmung und einige Volumenmaße unverändert behandeln.

Es gibt zwei Fragen. 1) Haben negative / positive Krümmungen mehr Volumen als eine (in gewissem Sinne) äquivalente Raumzeit ohne Krümmung? Und 2) Verursacht mehr Energiedichte in einer Raumzeit mehr positive oder negative Krümmungen? Ich werde beides abdecken.

Für kosmologische Raumzeiten, dh homogen und isotopisch, hat eine positive Krümmung ein endliches Volumen (die einfachste topologische Möglichkeit besteht darin, dass die Raumhyperflächen (dh Volumen) 3D-Kugeln sind). Die Räume mit negativer und 0-Krümmung haben ein unendliches Volumen, und sie sind offen und unendlich. Es hat eine allgemeine Anwendung, weil diese Raumzeiten diejenigen mit konstanter Krümmung sind.

Wenn Sie mehr Materie hinzufügen (oder richtiger, wenn die Materiedichte höher als geschätzt wäre), würde dies die Krümmung tendenziell positiver machen. Wenn weniger, negativer.

Man würde also sagen: mehr Materie weniger Volumen, weniger Materie mehr Volumen.

Allgemeiner neigt die negative Krümmung dazu, dass ihre Geodäten divergieren und so mehr Raum eröffnen. Siehe die Referenz unter

https://amathew.wordpress.com/2013/01/04/volume-growth-and-negative-curvature-i/

Dennoch habe ich keine allgemeine Behandlung außer in ziemlich symmetrischen Raumzeiten gesehen, und es gibt einige Bedenken, dass die Energie, die Sie verwenden müssen, um Masse von unendlich in ein bestimmtes Volumen zu „senken“, das Einfügen negativer (potentieller) Energie, der Energie, verursacht benötigt, um es ins Unendliche zu bringen. Intuitiv muss man also aufpassen

Es stimmt zB in folgendem Link,

http://burro.cwru.edu/Academics/Astr330/Lect02/volume.html

dass das Volumen eines räumlich entfernten Raumes (berechnet mit der Metrik der Koordinatenabstände) in den kosmologischen Raumzeiten für negative Krümmungen höher ist als für flache Räume, und beides mehr als positive Krümmungen

Die nächste Frage ist, ob Materie oder Energie eine Raumzeit (bzw. die Raumabschnitte) positiver oder weniger positiv gekrümmt macht. Selbst in unserem Universum, wenn es keine kosmologische Konstante gäbe, würde eine Materie plus Strahlungsdichte von weniger als einem bestimmten Betrag das Universum offen und das Volumen unendlich machen. Und leere Raumzeit kann positive, flache oder negative Krümmungen haben, also ist mehr oder weniger Materie nicht eindeutig bestimmend.

Für andere Geometrien gibt es verschiedene Größen, die zur Messung der Krümmung verwendet werden können, wobei es eine Reihe von Krümmungsinvarianten gibt. Die Schwarzchild-Lösung (für einen kugelsymmetrischen Raum) hat eine Krümmung (definiert wie in https://en.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Kretschmann_invariant&redirect=no , die Kretschmann-Invariante), die mit zunehmender Quadrat der Masse, und die positiv ist. Je höher die Masse, desto stärker die Krümmung. Beachten Sie jedoch, dass in diesem Fall der äquivalente Schwarzschild-Radius umso größer ist, je höher die Masse ist, und wenn es sich um ein Schwarzes Loch handelt, umso größer dann sein Horizont und die Fläche des Horizonts.

Es gibt andere Abhängigkeiten, die andere Teile des Spannungsenergietensors betreffen, einschließlich Spannung und Impuls und Druck. Das Lösen der Einstein-Gleichungen in einem Kasten ist nicht einfach (oder außer numerisch möglich?). Es gibt jedoch allgemeine Ergebnisse einfach aus der Definition der Riemann- und Ricci-Tensoren, dass die normalisierte (Volumen-) Änderungsrate der Volumenänderungsrate (dh doppelte Zeitableitung) proportional zu minus der Summe aus Energiedichte und ist Drücke. Wenn diese also allgemein für diese etwas einfachen Fälle zunehmen, nimmt die Lautstärkeänderung ab

$\ddot{V}$/V = -{Energiedichte + Druck}

Innerhalb der Schwarzschild-Metrik ändert sich die Lautstärke.

Invariant ist das Rechteck aus radialer Dimension und Zeit: Der dilatierende Effekt der Schwarzschild-Metrik

im Vergleich zur entsprechenden flachen Metrik

beeinflusst nur die radiale Richtung$\mathrm dr$und Zeit$ct,$der Rest der Geometrie ($\theta$und$\varphi$) bleibt unverändert.

Sie können leicht erkennen, dass der Faktor, um den es geht$\mathrm dr$multipliziert wird, entspricht dem Faktor, mit dem$c~\mathrm dt$ist geteilt. Der Faktor

ist gleich der Gravitationszeitdilatation.

Folglich behält das durch die radiale Dimension und die Zeit gebildete Rechteck seine Oberfläche in der Schwarzschild-Geometrie.

Wenn Sie nun die zusätzlichen Dimensionen betrachten, sehen Sie, dass sich das Raumzeitvolumen geändert haben muss. Wenn Sie zB eine Dimension hinzufügen, erhalten Sie einen Zylinder, das 3D-Volumen$\pi r^2 t$, das heißt, dass eine reduzierte Radialdimension r quadratisch erscheint, während die Zeitdimension gleich bleibt.

OK, ich kann die Mathematik nicht zeigen, aber alles, was Sie versuchen, in die Box zu passen, wird selbst zusammen mit dem Raum gekrümmt/gedehnt/zusammengezogen. Daher sollten Sie nicht in der Lage sein, mehr Sachen in eine Box zu packen als in eine andere gleicher Größe. Selbst wenn man sagt, gleiche Größe beinhaltet Raum und seine Krümmung. So wird sogar Ihre Box gekrümmt, da es nichts gibt, was sich nicht entlang des Raums krümmt. Es wird nur einen Unterschied zwischen den beiden Fällen geben, und das wird in Ihrer Frage angegeben - der von Masse und Schwerkraft.

Erwägen Sie, mehr Zeug in eine Kiste zu packen, während Sie sich in einem intensiven Gravitationsfeld befinden. Bewegen Sie nun die volle Kiste in ein weniger intensives Gravitationsfeld. Wird es explodieren? Wird das Zeug auslaufen?

Ja, gekrümmte Raumzeit verändert das Raumvolumen. Wenn der Raum durch Masse gekrümmt wird, wird er in einigen Dimensionen stärker gedehnt als in anderen. Stellen Sie sich einen Ballon vor, der gedehnt oder zusammengedrückt wird – das Volumen ändert sich.