Können Raum und Zeit separat gekrümmt werden?

Das ist meiner Meinung nach keine triviale Frage. Es gilt für Raumzeiten, wo es eine natürliche Unterscheidung zwischen Raum und Zeit gibt . Solche Raumzeiten werden als statische Raumzeiten bezeichnet (auch wenn diese Klasse in verschiedene Richtungen erweitert werden könnte, insbesondere einschließlich stationärer Raumzeiten, die die Metrik rotierender Gravitationsquellen beschreiben, und konform statischer Raumzeiten als kosmologische Modelle, die in der modernen Kosmologie verwendet werden).

Bleibt man bei statischen Raumzeiten, insbesondere der lokalen Raumzeit um unsere Sonne mit guter Näherung, so ist die natürliche Trennung zwischen Raum und Zeit auf das Vorhandensein einer bestimmten Killing- Symmetrie zurückzuführen, die eine natürliche Zeitrichtung in der Raumzeit definiert . Hier,$3$-Räume orthogonal zu diesen zeitlichen Richtungen sind die natürliche Vorstellung von physischem Raum . Darüber hinaus impliziert die Tatsache, dass die Metrik statisch ist, dass die metrischen Eigenschaften dieser natürlichen Räume und der Kurven, die die Zeitentwicklung beschreiben, nicht von dem eingeführten Zeitbegriff abhängen . Insofern macht es hier Sinn, von zwei räumlich und zeitlich voneinander unabhängigen Geometrien zu sprechen.

Die Metrik nimmt die Form an und bezieht sich auf angepasste Koordinaten

Es ist sinnvoll, die geometrischen Eigenschaften von zu untersuchen$g_{00}$Und$g_{ij}$($i,j=1,2,3$) separat. Wir können sagen, dass der physikalische Raum gekrümmt ist , wenn die Metrik$h= \sum_{i,j=1}^3g_{ij}(\vec{x}) dx^i dx^j$kann nicht durch eine Änderung der Koordinaten in die Standard-Euklidische transformiert werden. In diesem Fall muss eine Eigenschaft der euklidischen Geometrie nicht gelten. Beispielsweise könnte die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks, das durch räumliche Geodäten konstruiert wurde, unterschiedlich sein von$\pi$, und der Wert kann vom Dreieck selbst abhängen. Diese Eigenschaft darf nicht von der Zeit abhängen, damit sie eine räumliche Eigenschaft ist.

Die physikalische Interpretation der zeitlichen Geometrie ist komplizierter. Ich kann nicht sagen, dass das, was ich technisch erörtere, bedeutet, dass „die Zeit gekrümmt ist“. Es sollte jedoch im Wesentlichen eine Antwort auf Ihre Frage geben.

Wann immer$g_{00}(\vec{x}) \neq -1$(letzteres ist der „Wert in flacher Raumzeit“), treten mehrere physikalische Phänomene auf. Wir können zum Beispiel die Länge eines natürlichen Zeitintervalls vergleichen$\Delta t$mit dem Zeitabstand$\Delta \tau$durch eine ideale Uhr im Ruhezustand in einer Lage ausgewertet werden$\vec{x}$

Ein viel offensichtlicheres Phänomen aufgrund der Tatsache, dass$g_{00}(\vec{x}) \neq -1$, die auch bei ebener Raumgeometrie stattfindet , wird bezüglich der Beschleunigung von Körpern in geodätischer Bewegung ausgewertet$t$. Mit anderen Worten, die Tatsache, dass frei fallende Körper in einem Gravitationsfeld beschleunigen, was auch die Bewegung der Planeten um die Sonne im relativistischen Rahmen einschließt, ist auf das Vorhandensein von a zurückzuführen$g_{00}$anders als$-1$und abhängig von der räumlichen Position. Tatsächlich gilt bis auf multiplikative Konstanten und mit physikalisch einwandfreier Näherung$\nabla_{\vec{x}}g_{00}$fällt mit der klassischen Erdbeschleunigung zusammen$\vec{g}(\vec{x})$, bei$\vec{x}$, der im Newtonschen Bild für die Bewegung der Planeten verantwortlich ist.

Die Frage Was macht eine Koordinate gekrümmt? fragt, ob es möglich ist, dass die Zeitkoordinate gekrümmt ist, während die räumlichen Koordinaten flach sind.

Die Diskussion dort ist wahrscheinlich etwas zu kompliziert für diese Frage, aber die Zusammenfassung lautet, dass Sie kein Koordinatensystem haben können, in dem die Krümmung nur in der Zeitkoordinate liegt.

Eigentlich ist das eine triviale Frage. Die Zeit kann nicht unabhängig gekrümmt werden, aber der Raum kann es. Betrachten Sie ein Blatt Papier. Das Papier physisch zu zerquetschen ist ein Beispiel dafür, wie man den Raum krümmt, aber die Zeit so behält, wie sie ist.