Eigenkrümmung eines Zylinders

Ich denke, dass dies eine naive Frage sein kann, aber ich kämpfe mit dem Konzept der intrinsischen Krümmung, wenn es auf die Oberfläche eines Zylinders angewendet wird. In der Allgemeinen Relativitätstheorie: Eine Einführung für Physikerargumentieren die Autoren, dass die intrinsische Krümmung der Oberfläche Null sein muss, da sie durch Aufrollen ohne Verformung oder Reißen einer flachen Oberfläche konstruiert werden kann. Das verstehe ich, und ich kann mir auch vorstellen, wie die Oberfläche für einen in diese Oberfläche eingebetteten Beobachter aussehen würde (dh sie würden die Winkel von Dreiecken messen, die sich zu 180 ° summieren usw.). Äußerlich sehen wir jedoch, dass die Oberfläche gekrümmt ist. Wenn ein Beobachter entlang der Oberfläche gehen würde, würden wir (in unserer 3D-Welt) sehen, dass der Beobachter schließlich zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren würde (dh eine Runde um den Zylinder absolvieren würde). Würde der in die Oberfläche eingebettete Beobachter nicht auch sehen können, dass sie an ihren Ausgangspunkt zurückgekehrt sind? Wenn ja, würde das dem Beobachter erlauben zu schließen, dass sie eine gekrümmte Geometrie bewohnen?

Antworten (2)

Ein in eine Oberfläche eingebetteter Beobachter kann feststellen, ob die Oberfläche gekrümmt ist, indem er um ein Quadrat herumgeht. Das ist sein Weg 4 Segmente gleicher Länge mit 90 ∘ dreht sich zwischen ihnen.

Auf der Erde könnte ein solcher Weg am Äquator beginnen. Es würde nach Norden zum Nordpol gehen, nach links abbiegen, nach Süden zum Äquator gehen, nach links abbiegen, nach Westen gehen 1 / 4 des Weges um die Welt (der zurück zum Anfang ist), biegen Sie links ab und gehen Sie nach Norden zum Nordpol.

Da er nicht wieder dort ankommt, wo er angefangen hat, kann er schließen, dass die Oberfläche gekrümmt ist.

Die in der Allgemeinen Relativitätstheorie gemessene Krümmung der Raumzeit beinhaltet einen parallelen Transport um einen solchen Weg. Wenn Sie den Pfad entlang gehen, tragen Sie einen Pfeil und halten Sie ihn in die gleiche Richtung. Wenn der Pfeil am Ende in eine andere Richtung zeigt, ist die Oberfläche gekrümmt. Die Richtungsänderung ist ein Maß für die Krümmung.

Beginnen Sie beispielsweise mit dem Pfeil, der nach Norden zeigt. Wenn Sie die erste Etappe gehen, zeigt sie nach vorn. Nachdem Sie nach links abgebogen sind, zeigt es nach rechts, also nach Osten. Nachdem Sie sich nach links wenden und am Äquator entlang gehen, zeigt er hinter Ihnen nach Osten. Nachdem Sie nach links abgebogen und wieder nach Norden gegangen sind, zeigt es nach links, also nach Osten. Wenn Sie das Ende an der Stange erreichen, zeigt es nach links. Wenn Sie wieder nach links abbiegen, zeigt es nach vorn. Aber das ist eine andere Richtung als zu Beginn.

Der Beispielpfad war groß, weil es einfach ist, den Unterschied in Richtung und Position zu visualisieren. Und die Unterschiede sind groß für einen großen Pfad. Aber es gäbe immer noch einen kleinen Unterschied, wenn die Seiten des Quadrats wären 1 Meile lang.

Beachten Sie auch, dass Sie, anstatt um den gesamten Platz zu gehen, halb herumlaufen können und sehen, ob Sie am selben Ort landen, wenn Sie die andere Hälfte gehen. Im flachen Raum wickeln sich beide Hälften auf der gegenüberliegenden Diagonale auf. Im gekrümmten Raum landen sie an unterschiedlichen Stellen.

Wenn Sie einen quadratischen Pfad auf einem Zylinder auswählen, sollte es einfach sein, sich davon zu überzeugen, dass Sie zum ursprünglichen Punkt zurückkehren würden und ein Pfeil, den Sie tragen, die Richtung nicht ändern würde.

Dass die Raumzeit gekrümmt ist, erkennt man daran, dass die Zeit in der Nähe der Erdoberfläche etwas langsamer verläuft als in weiter Entfernung von der Erde.

In der Raumzeit können Sie ein Quadrat auswählen, bei dem zwei Seiten zeitähnlich sind. Beginnen Sie also von der Erde weg. Warten Sie auf einem halben Weg 1 Sek und bewegen 100 Meilen näher. In der anderen Hälfte bewegen 100 Meilen näher und warten 1 Sek. Da die Zeit langsamer vergeht, wenn Sie in der Nähe der Erde warten, landen Sie am selben Punkt, aber zu unterschiedlichen Zeiten. Dies sind verschiedene Punkte in der Raumzeit.

Ich verstehe, dass wir auf einer Kugel leicht ableiten können, dass wir uns auf einer gekrümmten Oberfläche befinden. Es gilt aber auch, dass die Oberfläche einer Kugel nicht ohne Verformung oder Reißen in eine ebene Fläche gebracht werden kann. Mein Punkt ist, wenn Sie entlang eines Quadrats auf einem Zylinder gehen können, der zu einer flachen Ebene gemacht werden kann, bedeutet dies, dass der Beobachter nicht erkennen kann, dass er sich auf einer gekrümmten Oberfläche befindet? Beweist es nicht die Krümmung der Oberfläche, dort anzukommen, wo man angefangen hat, indem man auf unbestimmte Zeit in einer geraden Linie geht? Ich glaube, dies könnte ein Problem der lokalen Krümmung sein (wie von @Chiral Anomaly hervorgehoben).

Hier stehen sich zwei unterschiedliche Auffassungen von Krümmung gegenüber, nämlich die intrinsische und die extrinsische Krümmung. Die intrinsische Krümmung ist die tatsächliche Krümmung, die für jemanden erkennbar ist, der sich im Raum bewegt. Andererseits kann eine extrinsische Krümmung nur definiert werden, wenn der Raum in einen anderen höherdimensionalen Raum eingebettet ist, beispielsweise den darin eingebetteten Zylinder R 3 . Es hat eine äußere Krümmung, aber seine innere Krümmung ist die der Ebene, dh es ist nicht intrinsisch gekrümmt. Beachten Sie, dass die Raumzeit im Zusammenhang mit der Allgemeinen Relativitätstheorie eine intrinsische Krümmung hat, aber nicht davon ausgegangen wird, dass die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist.
Zu Ihrer Frage bezüglich der Rückkehr des Beobachters zum Startpunkt. Das hängt nicht wirklich mit der Krümmung zusammen, sondern mehr mit der Topologie des Raums, nämlich dass ein Zylinder als unendliches zweidimensionales Band betrachtet werden kann, aber mit seinen beiden Seiten identifiziert werden kann.

Siehe auch https://math.stackexchange.com/questions/2002965/intrinsic-and-extrinsic-curvature .

Könnte ein Beobachter also unendlich in eine Richtung reisen und nicht zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren?
Hier meinte ich einen Zylinder von unendlicher Höhe, also den Raum [ 0 , 1 ] × R ⊂ R 2 mit Punkten drauf { 0 } × R Und { 1 } × R identifiziert. Dieses Beispiel sollte nur zeigen, dass die Rückkehr zum Ausgangspunkt nach dem Gehen in die gleiche Richtung nicht bedeutet, dass wir eine intrinsische Krümmung haben. Beachten Sie, dass Sie, um zu zeigen, dass ein Raum eine intrinsische Krümmung hat, die Metrik des Raums betrachten müssen.
Ich verstehe. Wenn jedoch eine flache Ebene und ein Zylinder für einen in die Oberfläche eingebetteten Beobachter an sich gleich sind, warum kann ein Beobachter dann auf einem Zylinder zum Startpunkt zurückkehren, aber nicht auf einer flachen Ebene? Ich kann sehen, dass die Mathematik impliziert, dass es keinen Unterschied gibt (dh die Metrik ist lokal gleich), aber insgesamt gibt es einen Unterschied, nicht wahr?
@DJTS Krümmung (oder Ebenheit) ist eine lokale Eigenschaft. Die Existenz gerader geschlossener Pfade ist eine globale (topologische) Eigenschaft. Weitere Beispiele für Räume, die flach, aber dennoch topologisch nicht trivial sind, finden Sie unter en.wikipedia.org/wiki/Flat_manifold
@DJTS Es hängt davon ab, was Sie mit "gleich" meinen. Das Flugzeug und der Zylinder sind also nicht wirklich dasselbe. Sie sind lokal homöomorph, da der Zylinder eine Mannigfaltigkeit ist und außerdem die Eigenkrümmung des Zylinders (an jedem Punkt des Zylinders) verschwindet, dh eben ist wie die Ebene. Wie der vorherige Kommentar zeigt, sind sie nicht global gleich, genauso wie das reale Intervall nicht dasselbe ist wie der Kreis. Wenn Sie sich nicht sicher sind, was lokal und global hier bedeutet, sollten Sie sich an physical.stackexchange.com/questions/595179/…
Danke, ich glaube das habe ich jetzt verstanden. Die 2D-Oberfläche eines Zylinders und einer flachen Ebene sind also für einen Beobachter nur lokal gleich . Das ist wahrscheinlich das, was die Autoren des von mir zitierten Buches gemeint haben.
Eigenkrümmung eines Zylinders
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v