Gibt es eine Einheit für den Grad, wie viel Raum gekrümmt ist?

Soweit wir allgemein die Krümmung des Raums messen, können wir geometrische Methoden anstelle von Einheiten eines bestimmten Koordinatensystems verwenden, um die Abweichung des gekrümmten Raums im Vergleich zum flachen Raum festzustellen. Eine solche Krümmungsmessung basiert auf einem einheitslosen Verhältnis.

Eine positive Krümmung führt zu einem Dreieck mit einem Gesamtinnenwinkel von mehr als 180 Grad, und eine negative Krümmung erzeugt ein Dreieck mit einem Gesamtinnenwinkel von weniger als 180 Grad. Mehr darüber, wie wir die intrinsische Krümmung auf verschiedenen topologischen Oberflächen schätzen können, finden Sie unter Gaußsche Krümmung . Die Gaußsche Krümmung ist nicht als das Winkeldefizit definiert, sondern als das Verhältnis des Winkeldefizits zur Fläche des Dreiecks.

Der grundlegende Unterschied zwischen intrinsischer Krümmung und extrinsischer Krümmung besteht darin, dass wir zur Berechnung der intrinsischen Krümmung keine zusätzliche Dimension benötigen (die uns in der 4-dimensionalen Raumzeit nicht zur Verfügung steht).

Von links nach rechts: eine Fläche mit negativer Gaußscher Krümmung (Hyperboloid), eine Fläche mit null Gaußscher Krümmung (Zylinder) und eine Fläche mit positiver Gaußscher Krümmung (Kugel).

Positive Krümmung von 270 Grad, statt wie im Flatspace die üblichen 180 Grad eines Dreiecks.

Ich überspringe absichtlich das Konzept des parallelen Transports und gehe direkt zum geodätischen Effekt über .

In einem gekrümmten dreidimensionalen Raum ist ein Gyoskop ein gutes physisches Objektanalog für einen dreidimensionalen Tangentenvektor.

Ein Gyroskop im Orbit um die Erde zeigt in eine bestimmte Richtung, und aufgrund der Krümmung der Raumzeit der Erde dreht sich die Richtung, in die es zeigt, aufgrund der Krümmung der Raumzeit, die durch die Masse der Erde verursacht wird. Diese Drehung wird als geodätischer Effekt bezeichnet, und die folgende Abbildung übertreibt diesen Effekt, da er aufgrund der relativ geringen Masse der Erde nicht mit bloßem Auge erkennbar ist.

Dieses gyroskopbasierte Verfahren erzeugt tatsächlich eher eine numerische als eine geometrische Messung.

Eine übertriebene Darstellung des geodätischen Effekts. Ein Gyroskop, das in der Umlaufbahn um die Erde platziert wird, präzediert aufgrund der Krümmung des Weltraums um die Erde.

Es gibt andere Effekte, wie z. B. Frame Dragging Wikipedia , und eine gute Quelle für weitere Informationen, aus der die obige Zusammenfassung und Illustrationen stammen, ist The Geodetic Effect.

Ich füge auch einen Kommentar von Jerry Schirmer hinzu: Ich würde argumentieren, dass die Riemann-Krümmung definitiv eine Einheit hat – umgekehrte Länge im Quadrat. Beachten Sie, dass die Abweichung von Dreiecken von 180 Grad von der Größe des Dreiecks abhängt.

Die Frage wird auf einer nichttechnischen Ebene gestellt, und count_to_10 hat eine ziemlich anständige nichttechnische Antwort gegeben. Diese Antwort geht jedoch nicht wörtlich auf die Frage des OP nach den Maßeinheiten oder darauf ein, wie stark die Krümmung beispielsweise durch die Sonne verursacht wird.

Gibt es eine Einheit für den Grad, wie viel Raum gekrümmt ist?

Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Schwerkraft nicht als Krümmung des Raums, sondern als Krümmung der Raumzeit.

GR hat mehr als ein Krümmungsmaß. Tatsächlich gibt es unendlich viele verschiedene Möglichkeiten, die Krümmung zu messen, zB die Carminati-McLenaghan-Invarianten, https://en.wikipedia.org/wiki/Carminati%E2%80%93McLenaghan_invariants . Es gibt jedoch einige Krümmungsmaße, die grundlegender sind als andere und häufig verwendet werden. Dies sind der Riemann-Tensor, der Ricci-Tensor und der Ricci-Skalar.

All dies sind Tensoren. (Ein Skalar ist ein Sonderfall eines Tensors.) Es ist etwas subtil zu definieren, was wir mit den Einheiten eines Tensors meinen. Ich habe eine ausführliche Diskussion darüber in Abschnitt 9.6 meines speziellen Relativitätstheorie-Buches . Wie dort beschrieben, gibt es mehrere unterschiedliche Konventionen zur Beschreibung der Einheiten eines Tensors. Keine dieser Konventionen ist richtig oder falsch; Sie müssen nur eine auswählen, bevor Sie sagen können, was Sie mit Einheiten meinen.

Wie auch immer, wenn Sie die Konvention übernehmen, die ich dort befürworte (die im Wesentlichen die von Schouten verwendete ist), dann haben die drei Krümmungstensoren, die ich oben beschreibe, alle SI-Einheiten von Meter^-2. Um dies mit der Antwort von count_to_10 in Verbindung zu bringen, beachten Sie, dass das Winkeldefizit des Dreiecks in der ersten Abbildung proportional zur Fläche des Dreiecks ist. Wenn wir also ein Maß für die Krümmung haben wollen, das unabhängig davon ist, welches Dreieck wir verwenden, müssen wir das Winkeldefizit durch die Fläche dividieren.

Wie viel Platz hat die Sonne?

In einem lokal kartesischen Koordinatensystem sind alle Komponenten des Riemann-Tensors aufgrund des Sonnenfeldes von Ordnung$Gm/(c^2r^3)$, Wo$m$ist die Masse der Sonne und$r$ist die Entfernung von der Sonne. Als physikalische Motivation für diesen Ausdruck, ohne auf die Details von GR einzugehen, ist die Idee, dass GR die Schwerkraft als eine fiktive Kraft beschreibt und nur Gezeiteneffekte real sind. In der Newtonschen Physik gehen Gezeiteneffekte wie folgt vor$Gm/r^3$. Der Faktor von$c^{-2}$ist nur eine Frage der Einheiten; Wir brauchen es, um ein SI-Ergebnis zu erhalten. Einstellung$r$gleich der Entfernung von der Erde zur Sonne, kommen wir herum$4\times 10^{-31}\ \text{m}^{-2}$.

zwischen der Summe der Winkel des Dreiecks und der Gesamtkrümmung innerhalb dieses Dreiecks ist gegeben durch wobei θi der an jedem Satelliten gemessene Winkel ist (gemessen im Bogenmaß), T die 2D-Dreiecksfläche ist, die durch die drei Satelliten definiert wird, die über integriert werden, K die Gaußsche Krümmung an jedem Punkt im Dreieck ist und dA die infinitesimale Fläche mit der Krümmung K ist . Für einen Raumbereich mit einer Gesamtkrümmung von Null summieren sich die Winkel zu π Radiant (180∘). Positive Krümmung führt zu einer Summe größer als π , negative Krümmung zu einer Summe kleiner als π .

k ist die Konstante des Coulombschen Gesetzes R ist der Ricci-Tensor - Ricci-Tensor ist eine Einheit weniger

Eine Möglichkeit, die Raumzeitkrümmung zu messen, sind Gyroskope, die Bogensekunden/Jahr oder Bogensekunden pro Jahr messen. Aber Abschlüsse funktionieren immer noch im Weltraum. Wenn Sie ein Dreieck auf eine Kugel kleben, summieren sich die Winkel auf 270 Grad statt 180.

In der Robertson-Walker-Metrik

Der$k$der zweite Term ist der Krümmungsparameter, der die Werte +1 oder -1 annimmt, je nachdem, ob die Raumzeit positiv oder negativ gekrümmt ist. Dies ist eine vereinfachte Version von$K$, die die Gaußsche Krümmung ist. Die räumliche Krümmung wird dann auf den Ricci-Skalar bezogen$R$Dies ist eine Zahl, die durch die Geometrie des Raums um sie herum bestimmt wird.

Ja. In der Kosmologie wird es „die Metrik“ genannt. „Die Metrik“ ist die Gleichung, die beschreibt, wie der Raum um Körper usw. „gekrümmt“ ist, und ermöglicht es Ihnen, zwischen der „metrischen Entfernung“ und der „richtigen Entfernung“ zu unterscheiden. Barbara Rydens „Einführung in die Kosmologie“ bietet eine fantastische Einführung in das Konzept sowie einige sehr schöne Illustrationen.