Wie beweist man die Abwesenheit nackter Singularitäten?

Es gibt viele mögliche Arten von Singularitäten, die selbst unter solch günstigen Bedingungen auftreten können. Betrachten wir über die extremale Nordstrom-Metrik hinaus:

Minkowski-Raum mit der Linie$\{ (t, 0, 0, 0) | t \in \mathbb{R} \}$ENTFERNT. Dies ist ein regelmäßiger Grenzpunkt, der technisch gesehen eine Singularität darstellt, obwohl er nicht besonders interessant ist.

Sie können mit solchen Attributen in eine quasi-reguläre Singularität erzeugen$2+1$Dimensionen, indem man die konische Raumzeit betrachtet, die von einer Punktmasse erzeugt wird, aber ich bin mir nicht 100% sicher, wie man so etwas macht$3+1$Dimension, da das übliche Verfahren hierfür die Kugelsymmetrie bricht.

Es gibt noch mehr Arten pathologischer Singularitäten, die wir dort anwenden können. Nehmen Sie zum Beispiel eine statische, kugelsymmetrische:

$$ds^2 = -e^{2\alpha(r)} dt^2 + e^{2\beta(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie eine Singularität schlecht werden kann. Die allgemeine Definition einer Krümmungssingularität (eine Singularität, die nicht quasi regelmäßig ist) ist die, wenn ein sich bewegender Rahmen entlang einer Kurve gegeben ist$e^\mu_i$, dann sind es die Komponenten des Riemann-Tensors in dieser Basis nicht$C^0$entlang dieser Kurve. Es ist durchaus möglich, dass alle skalaren Größen unter solchen Umständen brav bleiben (sogenannte nicht-skalare Singularitäten), obwohl ich nicht weiß, ob dies hier der Fall ist. Lassen Sie uns also einen ziemlich fiesen Trick entwickeln: Selbst wenn alle Größen begrenzt sind, ist eine einfache Möglichkeit, dass Mengen schlecht laufen, unendliche Oszillationen.

Es ist nicht sehr schwer, von dort aus zu gehen. Von Carroll stammt der Ricci-Tensor

$$\begin{eqnarray} R_{tt} &=& e^{2(\alpha - \beta)} \left[ \alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \frac{2}{r} \alpha' \right]\\ R_{rr} &=& - \left[ \alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha' \beta' - \frac{2}{r} \beta' \right]\\ R_{\theta\theta} &=& e^{-2\beta} \left[ r (\beta' - \alpha') - 1 \right] + 1\\ R_{\phi\phi} &=& R_{\theta\theta} \sin^2 \theta \end{eqnarray}$$

Nun ist der Ricci-Skalar einfach

$$\begin{eqnarray} R &=& -e^{2\alpha}e^{2(\alpha - \beta)} \left[ \alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \frac{2}{r} \alpha' \right] \\ &&- e^{2\beta} \left[ \alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha' \beta' - \frac{2}{r} \beta' \right]\\ &&+ r^2 (e^{-2\beta} \left[ r (\beta' - \alpha') - 1 \right] + 1)\\ &&+r^2 (e^{-2\beta} \left[ r (\beta' - \alpha') - 1 \right] + 1) \sin^4 \theta \end{eqnarray}$$

Da ich etwas faul bin, nehmen wir das mal an$\alpha = 0$, das vereinfacht die Sache erheblich:

$$\begin{eqnarray} R &=& e^{2\beta} \frac{2}{r} \beta' + r^2 (e^{-2\beta} \left[ r \beta' - 1 \right] + 1) (1 + \sin^4(\theta)) \end{eqnarray}$$

Auf diese Weise müssen wir uns nur um erste Ableitungen kümmern. Wählen wir aus

$$\begin{equation} \beta = r^3 \sin(\frac{1}{r}) \end{equation}$$

mit

$$\begin{equation} \beta' = r (3r\sin(\frac{1}{r}) - \cos(1/r)) \end{equation}$$

Sowohl diese Funktion als auch ihre Ableitung sind lokal begrenzt, und der Ricci-Skalar wird

$$\begin{eqnarray} R &=& e^{2 r^3 \sin(\frac{1}{r})} 2(3r\sin(\frac{1}{r}) - \cos(1/r)) + r^2 (e^{-2r^3 \sin(\frac{1}{r})} \left[ r^2 (3r\sin(\frac{1}{r}) - \cos(1/r)) - 1 \right] + 1) (1 + \sin^4(\theta)) \end{eqnarray}$$

selbst perfekt lokal begrenzt. Sie können in aller Ruhe überprüfen, ob auch alle möglichen Größen des Spannungs-Energie-Tensors beschränkt sind. Betrachtet man jedoch den Wert von$R$entlang einer ziemlich einfachen Kurve (sagen wir einer einfallenden Kurve der Form).$(\lambda, -\lambda, 0,0)$), aufgrund des Aussehens von$\sin(1/x)$,$r = 0$ist eine Krümmungssingularität, da der Transport dieser Größe entlang einer Kurve nicht stetig ist. Ich habe nicht alles auf Horizonte und dergleichen überprüft, aber soweit ich das beurteilen kann, ändern die metrischen Komponenten niemals das Vorzeichen.

Dies ist ein ziemlich dummes Beispiel, aber vielleicht möchten Sie diese Art von Lösung für eine realistischere (wenn nicht kugelsymmetrische) Version untersuchen: https://link.springer.com/article/10.1007/BF01651509

Für die Einstein-Vakuumgleichung gilt dies nur unter der Annahme der Kugelsymmetrie. Bei der sphärischen Symmetrie gibt uns der Satz von Birkhoff an, dass die Lösung isometrisch zu einer Teilmenge der Schwarzschild-Lösung ist. Auch diese ist statisch und hat solange keine nackte Singularität$M$ist positiv.

Für das Einstein-Maxwell-System liefert die sphärische Symmetrie die Reissner-Nordstrom-Raumzeit durch ein analoges Ergebnis zum Satz von Birkhoff. Es ist auch statisch. Beachten Sie, dass dieses Schwarze Loch im superextremen Fall eine nackte Singularität hat. Dies mag der unphysikalische Fall sein, aber man hat definitiv ein Gegenbeispiel zu Ihrer Behauptung. Sie benötigen eine strenge Erklärung in Ihrem Anspruch, die diesen Fall ausschließt.

Um zu beweisen, dass Ihre Raumzeit frei von nackten Singularitäten ist, versuchen Sie, die schwache kosmische Zensurvermutung zu lösen. Dazu müssen Sie beweisen, dass die zukünftige Null-Unendlichkeit vollständig ist. Das bedeutet, dass Sie zeigen müssen, dass die Generatoren dieser Null-Hyperfläche einen affinen Parameter haben, der alle Werte aufnimmt$(-\infty,\infty)$.