Wie können Sie feststellen, ob kugelähnliche Koordinaten lokal flach über dem Ursprung liegen?

Um Punkte zu finden, an denen die lokale Ebenheit zusammenbricht, besteht eine allgemeine Strategie darin, den Krümmungstensor zu berechnen$R_{\mu\nu\rho\sigma}$, und finde den Ort verschiedener Singularitäten (Punkte wo$R_{\mu\nu\rho\sigma}$wird unbegrenzt). Außer in seltenen Fällen (zB ungewöhnliche Stornierung), singuläres Verhalten von$R_{\mu\nu\rho\sigma}$ist im Ricci-Skalar ersichtlich$R=R^{\rho\alpha}_{\,\,\,\,\rho\alpha}$.

Eine alternative Perspektive auf die lokale Ebenheit beinhaltet das Verständnis des Verhaltens von Geodäten in der Nähe des Point of Interest. In hochsymmetrischen Fällen können Null-Geodäten eine Möglichkeit bieten, Punkte zu untersuchen, an denen metrische Komponenten singulär zu sein scheinen. Wenn die Raumzeit in der Nähe des Punktes tatsächlich regelmäßig ist, geben affine Parameter dieser Geodäten lokale Koordinaten an, in Bezug auf die metrische Komponenten nicht singulär sind. Daher kann eine Krümmungssingularität auch als ein Ort betrachtet werden, an dem sich Null-Geodäten unregelmäßig verhalten, egal wie nah Sie in den Bereich des unregelmäßigen Verhaltens hineinzoomen: Der Bereich in der Nähe der Singularität sieht in jedem Maßstab gekrümmt aus.

In diesem Sinne: wenn Sie sich hauptsächlich für die Region in der Nähe interessieren$r=0$, ist es hilfreich zu berücksichtigen, wie sich die Metrik ändert, wenn Sie die Koordinatentransformation anwenden$(t',r')=(\alpha t,\alpha r)$mit$\alpha \gg 1$. Die Metrik in Bezug auf die neuen Koordinaten ist$\alpha^{-2}(-g_{tt}(\alpha^{-1}x)dt'^2+g_{rr}(\alpha^{-1}x)dr'^2+r'^2d^2\Omega)$, und eine notwendige Bedingung für die lokale Ebenheit ist, dass sich die neu skalierte Metrik etwas proportional zur gewöhnlichen Minkowski-Metrik annähert,$-dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2$. Daher schränkt die von Ihnen angenommene Form der metrischen Winkelkomponente die Form stark ein$g_{tt}$Und$g_{rr}$: Insbesondere ist es notwendig, damit der Verteiler in der Nähe des Ursprungs lokal flach ist$g_{tt}(0)=-g_{rr}(0)=1$(Diese Bedingung schließt Ihr Beispiel aus, das eine kegelartige Singularität hat). Sie können in Ihrem Beispiel auch ein singuläres Verhalten an der Form von Null-Geodäten erkennen: jede Funktion$(t(\tau),0,\dots)$ist eine Null-Geodäte, aber das gilt auch für Funktionen der Form$r(t)=\frac{1}{12}t^2+C$die durch den Ursprung gehen.