Extrinsische Krümmung im Schwarzschildraum

Ich lese diesen Artikel über extrinsische Krümmungs-Einbettungsdiagramme in der Allgemeinen Relativitätstheorie: Es scheint, dass diese verwendet werden, um gekrümmten Raum zu visualisieren. Auf Seite 2 wird ausgeführt, dass im Fall der konstanten Schwarzschild-Zeit-Hyperfläche in einer Schwarzschild-Raumzeit die extrinsische Krümmungseinbettung eine ebene Fläche ist. Bedeutet das, wenn Sie die nehmen T = 0 Hyperfläche in der Schwarzchild-Raumzeit (d. h. der räumliche Teil der Schwarzchild-Metrik) gegeben durch

G S C = ( 1 + M 0 2 R ) δ

dass die extrinsische Krümmung k ich J dieser Hyperfläche ist nur die flache Metrik δ ich J ?

Antworten (1)

Nein, es bedeutet, dass die äußere Krümmung Null ist. Verwechseln Sie die Krümmung nicht mit der Metrik! Die Metrik der Hyperfläche ist in diesem Fall konform zu einer flachen Metrik, aber das sagen wir nicht. Die extrinsische Krümmung ist Null, weil die 4D-Metrik statisch ist, nicht wegen einer bestimmten Form der 3D-Metrik.

Ich verstehe, also selbst wenn man die 3D-Metrik für eine kleine Störung hält T = 0 Scheibe der Schwarzschild-Raumzeit, wird die extrinsische Krümmung immer noch aufgrund der 4D-Metrik verschwinden?
@Tom Was meinst du mit einer kleinen Störung? Die äußere Krümmung hängt davon ab, wie die Hyperfläche in die umgebende Raumzeit eingebettet ist; wenn Sie es ändern, so dass es nicht a ist T = konst Oberfläche mehr, die extrinsische Krümmung wird nicht Null sein.
Ich denke, was ich wirklich frage, ist: Nehmen Sie eine 4D-Mannigfaltigkeit, bei der die Metrik durch eine kleine Störung der Schwarzschild-Metrik gegeben ist, dh. fügen Sie eine Metrik hinzu H a β mit Komponenten, deren Größe in einer geeigneten Norm klein ist (im Allgemeinen nehme ich an, dass diese Metrik weder kugelsymmetrisch noch statisch sein wird). Wenn wir nun eine raumähnliche Hyperfläche dieser 4D-Mannigfaltigkeit nehmen, was wären die induzierte Metrik und die extrinsische Krümmung? Ich gehe davon aus, dass die äußere Krümmung in diesem Fall nicht mehr verschwinden wird
@Tom ja, im Allgemeinen gäbe es keinen Grund dafür, dass die äußere Krümmung verschwindet. Das und die induzierte Metrik hängen von der Störung und davon ab, wie Sie die Hyperfläche wählen, für die Sie ziemlich vollständige Freiheit haben.
Könnte man einfach die Hyperfläche bei wählen T = 0 , da man sowieso erste Daten haben möchte. Was wären in diesem Fall die induzierte Metrik und die extrinsische Krümmung für die Hyperfläche (oder zumindest was wäre die allgemeine Form, wenn eine Störung angenommen wird? H a β ?
@Tom Um ehrlich zu sein, ich weiß nicht, das klingt nach etwas, wonach man in einem Buch suchen sollte. Poisson's A Relativist's Toolkit enthält eine Menge Sachen zu Hyperoberflächen, vielleicht haben Sie dort etwas Glück.
Ja, das ist etwas verwirrend, da ich mir nicht sicher bin, was das ist T = 0 Hyperfläche wäre, da die Störung zeitabhängig sein könnte (zum Beispiel ein Objekt, das in das Schwarze Loch geworfen wird). Es scheint mir, dass Leute beweisen, dass etwas für eine kugelsymmetrische Raumzeit wahr ist, indem sie es für kugelsymmetrische Anfangsdatensätze (dh Hyperoberflächen) beweisen. Kann man beweisen, dass etwas für eine Störung der Schwarzschild-Raumzeit wahr ist, indem man es für eine Störung um eine Hyperfläche in der Standard-Schwarzschild-Raumzeit beweist? Aber die äußere Krümmung muss man ja dann doch noch irgendwoher kennen...
dh. die raumartige Schwarzschild-Metrik wo T = 0 ist ein raumähnlicher Ausschnitt der 4D-Schwarzchild-Metrik, wenn wir also eine Störung zu der raumähnlichen Schwarzchild-Metrik hinzufügen, ist das auch ein raumähnlicher Ausschnitt einer Störung der 4D-Scwharzchild-Metrik?
@Tom Ich denke, hinter deinen Fragen steckt ein tieferer Zweck, der nicht klar rüberkommt. Was motiviert Ihre Fragen? Aber generelle Aussagen über eine beliebige Oberfläche lassen sich sowieso schwer treffen. Vielleicht interessiert Sie das Konzept einer Cauchy-Oberfläche, von der aus Sie die gesamte Zukunft Ihrer Raumzeit vorhersagen können.
Die Motivation ist, dass ich sehe, ob ich eine Methode habe, um die Penrose-Ungleichung für die Raumzeit von Schwarzen Löchern zu beweisen, die Störungen der Schwarzchild-Raumzeit sind. Ich bin jedoch etwas verwirrt, da die Ungleichung in Bezug auf die anfängliche Datenformulierung für 3-Mannigfaltigkeiten angegeben wird, die Hyperflächen der Raumzeit sind, und in dieser Formulierung benötigt man die induzierte Metrik und die extrinsische Krümmung der Hyperfläche, also im Grunde was ist das 3-Mannigfaltigkeit in diesem Fall. Für kugelsymmetrische Raumzeiten, denke ich, beweist man es für kugelsymmetrische Cauchy-Daten.
In meinem Fall bin ich mir nicht sicher, was die Anfangsdaten sein müssten, um das Ergebnis für eine Störung einer Schwarzschild-Raumzeit zu beweisen, oder wie die allgemeine Form für die induzierte metrische und extrinsische Krümmung wäre.
Extrinsische Krümmung im Schwarzschildraum
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