Was bedeutet die Raum-Zeit-Krümmung?

Die Raumzeitkrümmung ist mathematisch äquivalent zum Vorhandensein einer sogenannten geodätischen Abweichung von zeitähnlichen Geodäten. Mit anderen Worten gibt es frei fallende Körper, die von nahe beieinander liegenden Punkten ausgehen und ähnliche Geschwindigkeiten haben, die eine nicht verschwindende Relativbeschleunigung messen. Dies ist die direkteste physikalische Bedeutung eines nicht verschwindenden Riemannschen Krümmungstensors in einer Raumzeit.

Die Raumkrümmung hat eine ähnliche, aber nicht identische Interpretation im erweiterten Ruheraum eines Beobachters (unter der Annahme, dass die von der Raumzeit auf diesen Raum induzierte Metrik in Bezug auf den vom Beobachter angenommenen Zeitbegriff stationär ist). Es gibt eine "relative Beschleunigung", die sich auf den natürlichen Längenparameter (anstelle der Eigenzeit) zwischen Geodäten bezieht. Hier können Geodäten hinsichtlich ihrer Variationsdefinition definiert werden, da die Metrik positiv definiert ist. Sie sind die kürzesten Linien, die Paare gegebener Punkte verbinden.

"Raumkrümmung" bezieht sich auf die Geometrie eines räumlichen Schnitts der Raumzeit mit einer konstanten Zeitkoordinate (der Schnitt hat also keine Zeitdimension). "Raumkrümmung" ist das, worauf sich die gängige Gummiblatt-Analogie bezieht und Flamms Paraboloid nachahmt, das die Geometrie eines räumlichen Schnitts durch die Schwarzschild-Metrik darstellt:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric#Flamm.27s_paraboloid

"Raum-Zeit-Krümmung" bezieht sich auf die Geometrie der 4D-Raumzeit oder einen Schnitt mit einer nicht konstanten Zeitkoordinate (der Schnitt hat also eine Zeitdimension). „Raum-Zeit-Krümmung“ wird selten gezeigt, sieht aber ungefähr so ​​aus:

http://www.relativitet.se/spacetime1.html

Hier ein weiterer Vergleich der beiden Arten von Scheiben der Raumzeit. Eines mit Zeit und eines rein räumlich:

http://www.physics.ucla.edu/demoweb/demomanual/modern_physics/principal_of_equivalence_and_general_relativity/curved_spacetime.html

Das ist lang, aber ich denke, einige Leute könnten von einer elementareren Antwort profitieren.

Manchmal sehen Sie auf einer Weltkarte eine Figur, die so aussieht:

Es ist eine Skala, die anzeigt, wie viel Entfernung auf der Karte 1000 Meilen auf der Welt entspricht. Diese seltsame Trichterform kommt daher, dass sich der Maßstab ändert, je weiter man sich vom Äquator entfernt. Wenn Sie versuchen, Entfernungen in der Nähe des 80. Breitengrads zu schätzen, verwenden Sie die horizontale Linie oben. Wenn Sie sich für die Mitte der dreißiger Jahre interessieren, wo ich wohne, würden Sie die Breite der Figur zwischen 30 und 40 Mark verwenden. Ein Maßstab für eine Karte, die nur einen kleinen Teil der Erde zeigt, ist nur eine einfache Linie mit einigen Häkchen, aber wenn Sie die gekrümmte Oberfläche eines Globus glätten, um eine Karte zu erstellen, müssen Sie Teile davon strecken und vielleicht andere Teile quetschen, und so kann der Maßstab nicht über die gesamte Karte gleich bleiben.

Sie können diesen sich ändernden Maßstab auch direkt auf der Karte anzeigen. Angenommen, es gibt einen kleinen Kreis auf dem Globus, wo sich die Breiten- und Längengradlinien kreuzen. Wenn Sie die Oberfläche des Globus strecken, um ihn abzuflachen, werden auch die Kreise gedehnt. Wenn jeder Kreis einen 100-Meilen-Radius auf der realen Erde darstellt, dann sehen Sie, wie weit 100 Meilen an diesem Punkt auf der Karte sind. Bei gewöhnlichen Karten wird dies nicht gemacht, weil es zu viel Unordnung hinzufügt, aber es hilft Ihnen zu verstehen, wie jede Art von Karte die echten Features verzerrt. Dies ist zum Beispiel die berühmte Mercator-Projektion (entnommen, wie die anderen Beispiele hier, aus Wikipedia; Zitate am Ende):

Sie können sehen, wie der südliche und der nördliche Teil stärker gestreckt wurden, als der Globus abgeflacht wurde. Diese Projektion ist diejenige, für die das zuvor gezeigte Skalendiagramm gilt.

Indem sie den sich ändernden Maßstab anzeigen, sagen Ihnen diese Kreise auch, dass die Oberfläche gekrümmt sein muss. Denken Sie darüber nach, wie diese Karte verformt würde, wenn alle Kreise dieselbe Größe hätten und den Rest der Karte mitziehen würden. Der nördliche und der südliche Teil würden zusammenkneifen, und die ganze Karte würde anfangen, sich zu kräuseln. Die Kreise entlang des Äquators würden etwas dicker werden und die Taille ausbeulen lassen. Wenn mehr Kreise dazwischen lägen, würden sie die Oberfläche je nach Standort um einen mittleren Betrag zerren. Sobald die Kreise alle gleich groß waren, hätte man, wenn man alles richtig ausgerichtet hätte, einen Globus. (Nur dass die Bereiche in der Nähe der Pole fehlen würden.)

Wenn Ihnen das zu abstrakt ist, denken Sie daran, ein Schädeldach aus dehnbarem Garn zu stricken und es dann flach auszustrecken. Die kleinen Garnschlaufen wären in der Nähe der Kante, an der der Stoff am stärksten gedehnt wurde, größer, und Sie könnten dies verwenden, um etwas über die Form vorherzusagen, in die sich die Schädeldecke entspannen würde, wenn Sie loslassen. Um fair zu sein, Sie können die genaue Form nicht vorhersagen - Schädeldecken sind nicht starr. Aber was auch immer die Form ist, sie wird gekrümmt sein. Es gibt mathematische Möglichkeiten, um anzugeben, wie gekrümmt eine Oberfläche an jedem Punkt ist, und Sie können diese Werte einfach anhand der Art und Weise berechnen, wie sich der Maßstab ändert, wenn Sie sich auf der Karte bewegen, ohne auch nur in 3D darüber nachzudenken.

Es wäre ein Fehler zu glauben, dass der Maßstab in alle Richtungen immer gleich ist. Das ist normalerweise nicht wahr, und es ist eines der Dinge, die die Mercator-Karte besonders machen - alle Maßstabsmarkierungen sind Kreise. So passt die Robinson-Projektion beispielsweise die Nord-Süd- und Ost-West-Maßstäbe an verschiedenen Stellen unterschiedlich an, sodass Landflächen in Polnähe nicht ganz so groß, aber auch Formen nicht allzu stark verzerrt werden. Auf dieser Karte sind die Maßstabsmarkierungen Ovale in unterschiedlichen Winkeln, die die Richtung anzeigen, in der die Dehnung am größten war.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie verlangsamt sich die Zeit, wenn Sie sich einem massiven Objekt nähern, und der radiale Abstand zwischen konzentrischen Schalen wird geringer als das, was Sie aus den Umfängen der Schalen berechnen würden. Dies ist nichts anderes als eine Änderung des Maßstabs einer Karte. Du erlebst dein Leben in einem kleinen Stück Raumzeit, das sehr flach ist. Das bedeutet, dass Sie ein Quadrat mit vier rechten Winkeln und allen vier Seiten gleich machen können, und Uhren ticken gleich schnell, egal wo sie sich in Ihrem Zimmer befinden. Wenn Sie an Raum und Zeit um ein Schwarzes Loch denken, stellen Sie sich das natürlich so vor, als wären es ein Raum und eine Zeit, die diesen Regeln folgen. Dieses mentale Modell ist das „flache Blatt Papier“, auf dem Ihre Karte gezeichnet ist. Wenn Leute sagen, dass die Zeit in der Nähe eines Schwarzen Lochs langsamer vergeht, Sie zeichnen im Wesentlichen die Teilstriche für die Zeit, die in diesem Teil der Karte weiter auseinander liegen. Auf die gleiche Weise sind die räumlichen Teilstriche zum und vom Zentrum des Schwarzen Lochs (oder eines anderen massiven Objekts) in der Nähe des Objekts näher beieinander. In den Weltkarten haben wir eher kleine Ovale als Häkchen verwendet, aber wir hätten stattdessen kleine Markierungen im Minimaßstab mit Häkchen verwenden können, die eine bestimmte Anzahl von Meilen in Nord-Süd- und Ost-West-Richtung anzeigen. Sie hätten unterschiedliche Abstände in verschiedenen Teilen der 2D-Karte, genauso wie die Zeit- und Raummarkierungen in unserer mentalen 4D-Karte durch unterschiedliche Beträge voneinander getrennt sind. Wir haben kleine Ovale anstelle von Teilstrichen verwendet, aber wir hätten stattdessen kleine Markierungen im Minimaßstab mit Teilstrichen verwenden können, die eine bestimmte Anzahl von Meilen in Nord-Süd- und Ost-West-Richtung anzeigen. Sie hätten unterschiedliche Abstände in verschiedenen Teilen der 2D-Karte, genauso wie die Zeit- und Raummarkierungen in unserer mentalen 4D-Karte durch unterschiedliche Beträge voneinander getrennt sind. Wir haben kleine Ovale anstelle von Teilstrichen verwendet, aber wir hätten stattdessen kleine Markierungen im Minimaßstab mit Teilstrichen verwenden können, die eine bestimmte Anzahl von Meilen in Nord-Süd- und Ost-West-Richtung anzeigen. Sie hätten unterschiedliche Abstände in verschiedenen Teilen der 2D-Karte, genauso wie die Zeit- und Raummarkierungen in unserer mentalen 4D-Karte durch unterschiedliche Beträge voneinander getrennt sind.

Denken Sie also nicht, dass die Änderungen im Zeitablauf und in der radialen Entfernung nur mit der Krümmung zusammenhängen . Sie sind die Krümmung. Wir haben keinen Grund zu glauben, dass es einen höherdimensionalen Raum gibt, durch den die Raumzeit so gekrümmt ist, wie die Erdoberfläche im dreidimensionalen Raum gekrümmt ist, und wir brauchen uns nicht darum zu kümmern. Wir können daraus schließen und sogar messen, dass der korrekte Kartenmaßstab an verschiedenen Orten unterschiedlich ist, und das ist die Krümmung.

Beide Karten stammen aus Wikipedia und sind von Eric Gaba (Sting - fr:Sting). Erste Karte: Daten: US NGDC World Coast Line (gemeinfrei), GFDL, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4677929 Zweite Karte: [GFDL ( http://www.gnu. org/copyleft/fdl.html ) oder CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 ( http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)] , via Wikimedia Commons Die variable Maßstabsleiste ist gemeinfrei.