Werden Linsenräume über einen Weinberg-Winkel klassifiziert?

Wenn Ihre Definition eines Objektivraums bedeutet$S^3/\Gamma$, ein Quotient der Drei-Sphäre, dann die$U(1)$,$SU(2)$Kopplungen können (klassischerweise) aus der übergeordneten Theorie über die volle Drei-Sphäre abgeleitet werden, deren Isometrie ist$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2)$(auf der Ebene der Lie-Algebren). Die Untergruppe$\Gamma$wirkt nur innerhalb einer der$SU(2)$Faktoren, sagen wir den zweiten.

Denn das Original$S^3$hatte eine Symmetrie zwischen beiden$SU(2)$Faktoren stimmten ihre Spurweitenkopplungen überein. Sie sind jedoch davon ausgegangen, dass a$\Gamma={\mathbb Z}_k$Fall, weil Sie das im zweiten behauptet haben$SU(2)$wurde zu a gebrochen$U(1)$Untergruppe; das würde für die nicht-abelschen Gruppen nicht gelten$\Gamma$isomorph zu den Isometrien der platonischen Polyeder. Die Orbifaltung durch${\mathbb Z}_k$bedeutet, dass nur Staaten mit$J_{{\rm second},3}$ein Vielfaches von sein$k$werden im Spektrum gehalten. Es liegt daher nahe, die neue Elementarladung zu definieren$e$als$k$mal die Elementarladung in der übergeordneten, nicht orbifolded Theorie. Der natürliche Wert des Weinberg-Winkels gehorcht also$\tan \theta_W=g'/g = k$; die grundiert$g$bezieht sich auf$U(1)$und wird verstärkt$k$-mal.

Die Ladungen geladener Teilchen unter der ersten$SU(2)$sind jedoch auch von der Orbifaltung betroffen und korrelieren mit den Ladungen unter der$U(1)$: für große Werte von$k$, finden Sie beispielsweise kein Triplett unter dem ersten$SU(2)$im Spektrum (aber es ist weniger trivial zu sagen, welche Wiederholungen die erste ist$SU(2)$erscheinen im Spektrum). Aus diesem Grund ist es etwas seltsam zu sagen, dass der Weinberg-Winkel extrem wird. In gewissem moralischen Sinne sind die natürlichen Kopplungen beider Eichgruppen auch in der orbifolded-Theorie immer noch gleich.