Generatoren der Gruppe Diffeomorphismus

Stellen Sie sich einen infinitesimalen Diff wie eine Übersetzung vor, bei der die Verschiebung raumabhängig ist.$x^\mu\rightarrow x^\mu+\epsilon^\mu(x)$. Jetzt verstehen Sie, dass die Generatoren sind$L_\epsilon=\epsilon^\nu(x)\partial_\nu$seit$L_\epsilon x^\mu=\epsilon^\mu(x)$. Sie bilden da einen unendlichen Raum$\epsilon^\mu(x)$ist eine Funktion, die in unendlich viele konstante Parameter entwickelt werden kann, die durch die Ableitung von gegeben sind$\epsilon$auf null,$\epsilon^\mu(x)=\sum_n x^{\nu_1}\cdot x^{\nu_n} \partial^n_{\nu_1\ldots \nu_n}\epsilon^\mu(x=0)/n!$. Also eine Basis von Generatoren wäre

Formal gesprochen bei gegebener (differenzierbarer, endlichdimensionaler) Mannigfaltigkeit $M$, dann die (unendlich dimensionale) Lie-Gruppe von (global definierten) Diffeomorphismen (mit Zusammensetzung$\circ$als Gruppenstruktur) hat die Menge$\Gamma(TM)$von (global definierten, differenzierbaren) Vektorfeldern als entsprechende Lie-Algebra .

Diese (unendlich dimensionale) Lie-Algebra$\Gamma(TM)$ist mit der üblichen Lie-Klammer von Vektorfeldern ausgestattet $[\cdot,\cdot]$. (Basis-) Elemente für eine Lie-Algebra werden oft Generatoren genannt.

Um die Antwort von Qmechanic und die Antwort von TwoBs zu ergänzen und zu antworten "... was zum Teufel ist h dann? Irgendeine beliebige Funktion?":$h$ist ziemlich willkürlich. Es wird gewöhnlich angenommen, dass es mindestens eine Differenzierbarkeitsklasse ist$C^1$(alle ersten Ableitungen stetig), so dass die Lie-Klammer von Vektorfeldern wie in Qmechanics Antwort definiert ist. Sie müssen davon ausgehen, dass es Klasse ist$C^\infty$("smooth", dh Derivate aller Ordnungen existieren) zu kiten$\Gamma(TM)$(Notation wie in der Antwort von Qmechanic) mit der Grundlage, die die Antwort von TwoBs für Sie definiert hat. Die genauen Bedingungen hängen aber von der Anwendung ab$C^2$werden Sie in die Lage versetzt, den Krümmungstensor richtig zu definieren und damit beispielsweise die Einstein-Feldgleichungen in GTR sinnvoll zu machen.