Drehung in höheren Dimensionen

In einer Welt mit drei räumlichen Dimensionen plus Zeit dreht sich jedes Atom um eine Linie, die Rotationsachse.

In einer Welt von N räumliche Dimensionen wo N größer als 3 ist, muss sich jedes Atom drehen, und wenn ja, dreht es sich um eine Linie, eine Ebene oder einen Unterraum mit geringerer Anzahl von Dimensionen?

Für eine explizite Parametrierung von N -dimensionale Drehungen, siehe: math.stackexchange.com/q/1364495

Antworten (2)

  1. Man kann zeigen, dass eine allgemeine Drehung R ∈ S Ö ( N ) In N ≥ 2 räumliche Dimensionen komponiert werden können

    R   =   R 1 ∘ … ∘ R k
    von höchstens k = [ N 2 ] paarweise pendelnde Drehungen
    R 1 , … , R k   ∈   S Ö ( N )
    dass jeder einen Unterraum der Co-Dimension 2 invariant lässt (obwohl nicht unbedingt derselbe Unterraum).

  2. Genauer gesagt, bei einer Rotation R ∈ S Ö ( N ) es existiert eine orthonormale Basis ( e 1 , … , e N ) [was davon abhängen kann R ] so dass die Drehung R wird durch eine Blockdiagonalmatrix der Form dargestellt

    ( cos ⁡ θ 1 Sünde ⁡ θ 1 − Sünde ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 Sünde ⁡ θ 2 − Sünde ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋱ cos ⁡ θ k Sünde ⁡ θ k − Sünde ⁡ θ k cos ⁡ θ k 1 1 ⋱ 1 ) .

  3. Die Drehung R selbst wird nur garantiert einen Unterraum der Dimension 1 (=eine Linie durch den Ursprung) invariant lassen, wenn die Raumdimension N ist ungerade.

In 2d hat eine Rotationsmatrix die Form

R ( θ ) = ( cos ⁡ θ − Sünde ⁡ θ Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ ) := ( C ( θ ) − S ( θ ) S ( θ ) C ( θ ) )
und dreht den Vektor in einer Ebene .

In 3D kann eine Rotationsmatrix als Produkt geschrieben werden

R 12 ( ψ ) R 13 ( θ ) R 12 ( φ )
Wo
R 12 ( ψ ) = ( C ( ψ ) − S ( ψ ) 0 S ( ψ ) C ( ψ ) 0 0 0 1 ) R 13 ( θ ) = ( C ( ψ ) 0 − S ( ψ ) 0 1 0 S ( ψ ) 0 C ( ψ ) )
Eine Achse bleibt unverändert. Diese Achse kann durch die enthaltende Zeile oder Spalte identifiziert werden 0 s überall außer einem Eintrag.

In SO(4) kann man eine Rotationsmatrix als Sequenz oder schreiben R ich J Matrizen. R 12 hätte die Form

R 12 ( ψ ) = ( C ( ψ ) − S ( ψ ) 0 0 S ( ψ ) C ( ψ ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )
und lässt so einen 2-dimensionalen Unterraum invariant. Eine SO(4)-Matrix kann in faktorisierter Form geschrieben werden
R 34 ( β 1 ) R 23 ( β 2 ) R 12 ( β 3 ) R 34 ( β 4 ) R 23 ( β 5 ) R 34 ( β 6 )
indem die Einträge der auf reale Werte beschränkt werden S U ( 4 ) Matrix faktorisiert wie hier gemacht . Dies ist keineswegs die einzig mögliche Faktorisierung.

Offensichtlich kann eine SO (5) -Rotation in Form von Matrizen geschrieben werden, die einen dreidimensionalen Unterraum invariant lassen usw.

Was ist mit Doppelrotationen in 4D? Die gleichzeitigen Drehungen in 2 orthogonalen Ebenen, die sich in einem Punkt am Ursprung schneiden (Ersetzen von Einheiten in Ihrer Matrix durch Sinus und Cosinus).
@safesphere Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage verstehe. Es ist immer noch eine 4d-Rotation, aber es kann eindeutig als Folge von zwei pendelnden SO(2)-Rotationen realisiert werden: R 12 R 34 . Nehmen R 23 ( 0 ) = 1 usw.
Zur Verdeutlichung dessen, was ich meine, siehe bitte math.stackexchange.com/q/2543122 und siehe auch Double Rottions unter Geometry hier en.wikipedia.org/wiki/…
@safesphere Ich brauche wirklich mehr Kaffee ... Ich verstehe immer noch nicht, was Sie fragen, aber den Link werde ich später mit Interesse lesen.
Kein Problem :) Um es noch einmal zu verdeutlichen, in 3D kann sich ein Objekt nur um eine Achse drehen. Wenn wir versuchen, ein Objekt gleichzeitig um zwei Achsen zu drehen, dreht dies nur die Rotationsachse, aber es bleibt eine einzelne und die Rotation hat immer noch eine einzige Geschwindigkeit. In 4D kann sich ein Objekt jedoch in einer Ebene (einfache Drehung) und gleichzeitig in einer anderen orthogonalen Ebene (zweifache Drehung) unabhängig und mit unterschiedlicher Geschwindigkeit drehen.
@safesphere ließ mich (irgendwann) das von Ihnen verlinkte Material lesen.
@safesphere Das 'starre Objekt' kann im Prinzip beliebig oft gedreht werden, und das Produkt der zugehörigen Rotationsmatrizen ist immer eine Rotationsmatrix (die die Abstände und Formen des 'starren Objekts' nicht verzerrt). Diese Rotationsmatrix beschreibt nicht, wie viele Schritte und welche Achsen verwendet werden, sie bezieht sich nur auf den Endzustand und den Anfangszustand.
@Whit3rd Stimmt, aber diese Ansicht ist eingeschränkt, da die Rotation als einmaliges Ergebnis einiger unbeschriebener Schritte angesehen wird. Bei dieser Frage ging es um die Rotation nicht als einmaliges Ergebnis, sondern als kontinuierlichen Prozess und auch um die geometrische Bedeutung dieses Prozesses. Als solches erfolgt die Drehung in 2D immer in derselben Ebene, in 3D in jeder einzelnen Ebene, in 4D jedoch auf einer oder in zwei Ebenen gleichzeitig, die orthogonal zueinander sind und sich schneiden das Rotationszentrum.
@ZeroTheHero Also ... ist "irgendwann" vor oder nach dem Jahresende? :) Ihre Antwort besagt, dass in höheren Dimensionen eine Drehung a verlässt k − 2 Unterrauminvariante. Dies gilt nur für eine einzelne Drehung in einer Ebene. In höheren Dimensionen erhalten Sie jedoch gleichzeitig mehrere Rotationen in verschiedenen orthogonalen Ebenen. Wie Qmechanic feststellte, erhalten Sie in ungeraden Dimensionen im Allgemeinen nur eine 1D-Achseninvariante, während Sie in geraden Dimensionen im Allgemeinen nur eine Null-D-Punkt-Invariante erhalten. Höhere Dimensionen führen also zu komplexeren Drehungen, während die Invarianz ein Punkt oder eine Linie bleibt.
@safesphere Mon! Ich habe das vergessen ...
@ZeroTheHero Rotation ist immer in einer 2D-Ebene. Also in 1D - keine Rotation, aber Sie haben eine unveränderliche Achse: in 2D - eine Rotation, keine Achse; in 3D - eine Drehung plus eine Achse; in 4D - zwei Rotationen (2Dx2=4D), keine Achse; in 5D - zwei Drehungen plus eine Achse und so weiter. Die Matrix hat diagonale Paare von Sinus und Cosinus, mit Ausnahme der Einheit in ungeraden Dimensionen in der unteren rechten Ecke wie in Ihrem 3D-Beispiel (Achse). In Ihrem 4D-Beispiel sollte es jedoch im Allgemeinen keine Einheiten geben, nur Sinus und Kosinus (keine Exis).
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