Zwei Achsen für Rotationsbewegungen

Es sieht genauso aus wie eine Rotation um eine andere Achse mit einer anderen Rotationsgeschwindigkeit. Insbesondere, wenn Sie ein Objekt so einstellen, dass es sich mit Winkelgeschwindigkeit dreht$\vec\omega_1$und auch mit Winkelgeschwindigkeit$\vec\omega_2$, dann dreht es sich wirklich mit Winkelgeschwindigkeit$\vec\omega_1 + \vec\omega_2$. Die Richtung des Vektors$\vec\omega_1 + \vec\omega_2$ist die Gesamtrotationsachse des Objekts.

Der Rotationssatz von Euler garantiert, dass jede Rotation eines starren Objekts als Rotation um eine einzelne Achse ausgedrückt werden kann.

All dies gilt augenblicklich in dem Sinne, dass sich der Körper zu jedem Zeitpunkt um eine einzige Achse dreht. Es ist jedoch möglich, dass sich die Richtung der Rotationsachse im Laufe der Zeit ändert , und dies kann zu komplizierteren Bewegungen führen, die scheinen, als könnten sie nicht durch eine einachsige Rotation beschrieben werden.

Die Winkeldrehung ist ein Vektor, sodass sich jeder starre Körper zu jedem Zeitpunkt nur um eine Achse drehen kann. Wenn sich der Körper ohne äußere Kräfte frei im Raum dreht, bleibt der Drehimpuls erhalten. Wenn das Objekt kugelsymmetrisch ist wie der Ball, den Sie als Beispiel vorschlagen, dann ist die Winkelgeschwindigkeit in der gleichen Richtung wie der Drehimpuls und seine Bewegung kann nur eine einfache konstante Drehung um eine Achse sein.

Für ein komplexeres asymmetrisches starres Objekt ist das Trägheitsmoment eine symmetrische Matrix mit drei senkrecht zueinander stehenden Hauptachsen. Wenn die Rotation auf eine dieser Achsen ausgerichtet ist, hat sie immer noch eine konstante Winkelgeschwindigkeit, aber wenn nicht, kann die Winkelgeschwindigkeit selbst die Richtung ändern, selbst wenn der Drehimpuls konstant bleibt. Es gibt Fälle, in denen sich der Winkelgeschwindigkeitsvektor um die Richtung des Drehimpulses herum entwickelt. Dadurch sieht es so aus, als hätte es mehr als eine Rotationsachse, aber in Wirklichkeit dreht sich nur eine Achse. Hier ist ein Animationsvideo, um dies zu zeigen

http://www.youtube.com/watch?v=s9wiRjUKctU

Komplexere Bewegungen sind möglich, wenn alle drei Achsen unterschiedlich sind, wie in dieser Animation zu sehen

http://www.youtube.com/watch?v=qEWwIV9Z-eA

In diesem letzten Video wird ein Buch mit drei verschiedenen Hauptträgheitsmomenten auf der Raumstation verwendet, um einige der möglichen Bewegungsarten zu demonstrieren.

http://www.youtube.com/watch?v=GgVpOorcKqc

Rotation ist geometrisch nur um eine Achse möglich. Diese Achse kann sich mit der Zeit ändern, aber sie wird zu jedem Zeitpunkt eins sein.

Dies ist eine geometrische Eigenschaft des 3D-Raums.

Die Drehimpulsachse fällt nicht mit der Rotationsachse zusammen. Im Allgemeinen präzedieren Rotationsachsen um die Drehimpulsachse.

Hier ist das Beispiel eines rotierenden Körpers, dessen Drehimpuls absolut konstant ist, aber die Rotationsachse variiert:

http://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw

Ein starrer Körper kann sich nur um eine Achse drehen und starr bleiben. Tatsächlich ist die einzig erlaubte Bewegung eine Schraube, während eine Rotation um eine Achse gleichzeitig mit einer Translation entlang derselben Achse erfolgt (als Verdrehung bezeichnet ). Ihr Verhältnis wird als Schraubensteigung bezeichnet. Eine reine Rotation hat Steigung = 0.

Wenn Sie sich nun fragen, was ist, wenn Sie ein Gelenk haben, das zwei oder mehr Drehungen zulässt (wie ein Universalgelenk), dann ist das Ergebnis, dass es zu jedem Zeitpunkt nur eine effektive Drehachse gibt.

Wenn Sie eine Folge von drei Rotationen haben, mit Rotationsmatrizen$R_1$,$R_2$Und$R_3$jeder um eine lokale Achse$\hat{z}_1$,$\hat{z}_2$Und$\hat{z}_3$der Gesamtwinkelgeschwindigkeitsvektor ist

Es ist absolut unmöglich, dass sich ein Körper augenblicklich um zwei verschiedene Achsen dreht (die Gleichungen, die die Rotationsachse an mehreren Stellen bekannt geben, haben immer eine eindeutige Lösung!). Was tatsächlich passiert ist, dass wenn sich ein Körper dreht, sich die Rotationsachse von einem Moment zum anderen ändert, aber in jedem Moment gibt es nur eine Rotationsachse.

Die Winkelgeschwindigkeit ist kein gewöhnlicher 3-Vektor, sondern ein Pseudovektor (oder axialer Vektor). Die Orientierung eines Körpers in Bezug auf feste Achsen ist durch eine orthogonale Matrix gegeben$\mathbf{R}_t$, und die Winkelgeschwindigkeit kann wie folgt berechnet werden:

Es ist eine übliche Praxis, den Pseudovektor zu definieren$\boldsymbol{\omega}(t) = \omega_x(t) \boldsymbol{\hat{\imath}} + \omega_y(t) \boldsymbol{\hat{\jmath}} + \omega_z(t) \boldsymbol{\hat{k}}$, die das jeweils zeigen$t$Es gibt eine klar definierte Richtung$\boldsymbol{\omega}(t)$für die Drehachse.