Approximation von Euler-Winkeln mit kleiner Rotationshypothese

Tut mir leid, dass ich euch in den Sommerferien gelangweilt habe, meine Freunde. Ich werde von dem angenäherten Ausdruck der Euler-Winkel-Rotationsmatrix heimgesucht, der in diesem Lehrbuch zu finden ist . Im Anhang erklärt der Autor, dass die herkömmliche Euler-Winkelmatrix (Tait-Bryan) in die folgende Form zweiter Ordnung als angenähert werden könnte

[ 1 1 1 ] + [ 0 − θ z θ j θ z 0 − θ X − θ j θ X 0 ] − 1 2 [ θ j 2 + θ z 2 θ X 2 + θ z 2 θ X 2 + θ j 2 ] + [ 0 θ X θ j θ X θ z θ X θ j 0 θ j θ z θ X θ z θ j θ z 0 ]
Normalerweise werden die ersten beiden Matrizen zur Annäherung der Euler-Winkel nach der kleinen Rotationshypothese verwendet. Und in meinen Augen repräsentiert die zweite Matrix physikalisch die Rotationsbewegung kleiner Rotationen. Für alle anderen Matrizen werden jedoch im Lehrbuch keine weiteren Erklärungen und Analysen präsentiert. Daher frage ich mich, ob jemand einen Einblick in diese Form der Annäherung geben könnte (ich kann nirgendwo anders als im Lehrbuch eine ähnliche Annäherung finden ). Vielen Dank im Voraus.

Ich glaube, die vierte Matrix sollte wie die dritte Matrix mit dem Faktor 1/2 multipliziert werden.

Antworten (1)

Dies folgt aus der Rotationsformel von Rodrigues .

Definieren θ als Größe der Drehung, θ = θ X 2 + θ j 2 + θ z 2 , und die Matrix K als

K = 1 θ [ 0 − θ z − θ j − θ z 0 − θ X − θ j − θ X 0 ]
Beachten Sie, dass das Quadrat dieser Matrix ist
K 2 = 1 θ 2 [ − θ j 2 − θ z 2 θ X θ j θ X θ z θ X θ j − θ X 2 − θ z 2 θ j θ z θ X θ z θ j θ z − θ X 2 − θ j 2 ]

Nach der Rotationsformel von Rodriques ist die Rotationsmatrix

R = ICH + Sünde ⁡ θ K + ( 1 − cos ⁡ θ ) K 2
In zweiter Ordnung wird dies
R ≈ ICH + θ K + 1 2 θ 2 K 2 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] + [ 0 − θ z − θ j − θ z 0 − θ X − θ j − θ X 0 ] + 1 2 [ − θ j 2 − θ z 2 θ X θ j θ X θ z θ X θ j − θ X 2 − θ z 2 θ j θ z θ X θ z θ j θ z − θ X 2 − θ j 2 ]

Vielen Dank für Ihre sofortige und sehr hilfreiche Antwort. Die Rotationsformel von Rodrigues erweitert mein Verständnis der Rotationsmatrix. Sie haben definitiv Recht, dass der Koeffizient vor der vierten Matrix 0,5 sein sollte, wenn die Rotationsmatrix nach der Formel von Rodrigues konstruiert wird. Es wird jedoch festgestellt, dass der Koeffizient 1 wird, wenn eine Taylor-Entwicklung auf eine Drehung um Euler-Winkel angewendet wird. Es ist sehr bizarr. Danke noch einmal.
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