Wie zeigt man die endliche Drehung eines Spin-1/2-Systems?

Ich überprüfe meine Quantenmechanik, indem ich Sakurai und Napolitano noch einmal durchgehe und alle Herleitungen ausarbeite. Ich bin ratlos (obwohl ich es wahrscheinlich nicht sein sollte) bei etwas Algebra in der endlichen Rotation von Spin-1/2-Systemen. Die Ableitung (Sakurai und Napolitano, S. 164) beginnt mit der Anwendung des endlichen Rotationsoperators um die z-Achse auf die$S_x$Operator in der Basis von$S_z$Eigenkets:

$\left(\frac{\hbar}{2}\right) \exp \left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right) \left( \left|+\right>\left<-\right|+\left|-\right>\left<+\right| \right) \exp \left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)$

So weit so gut - die spektrale Zerlegung von$S_x$ist aus den Pauli-Matrizen offensichtlich, und der endliche Rotationsoperator ist leicht zu erhalten, indem man die Grenze der Anwendung des infinitesimalen Rotationsoperators unendlich oft nimmt. Ersetzen$S_z=\frac{\hbar}{2}$und verteilen, erhalte ich

$\left(\frac{\hbar}{2}\right) \left( e^{i\phi/2} \left|+\right>\left<-\right| e^{-i\phi/2} + e^{i\phi/2} \left|-\right>\left<+\right| e^{-i\phi/2} \right)$

Aber Sakurai und Napolitano (richtig) erhalten

$\left(\frac{\hbar}{2}\right) \left( e^{i\phi/2} \left|+\right>\left<-\right| e^{i\phi/2} + e^{-i\phi/2} \left|-\right>\left<+\right| e^{-i\phi/2} \right)$

Aus dieser Form ist es einfach, die Euler-Formel anzuwenden und zu zeigen, dass die Wirkung der endlichen Drehung auf$S_x$ist nur

$S_x \cos \phi - S_y \sin \phi$

was den Spin wie erwartet in der xy-Ebene dreht. Was ich nicht herausfinden kann (und ich bin sicher, es ist etwas Einfaches, das ich nur übersehe), ist, wie die Exponentiale auf die beiden Terme in der spektralen Zerlegung verteilt sind. Ist das ein Algebra-Trick, den ich vermisse, oder stimmt etwas tieferes in meinem Denken nicht?