Gibt es einen "Singlet-Zustand" für 3 oder mehr Teilchen mit Spin 1/2?

Jedes System mit$N$oder mehr Elektronen liegt in einem Hilbert-Raum$H=H_{\text{space}} \otimes H_{\text{spin}}$, mit$H_{\text{space}}=H_{\text{space}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{space}}^{N}$Und$H_{\text{spin}}=H_{\text{spin}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{spin}}^{N}$,$H^i$das sein$i$-ten Teilchenraum. Das System hat also einen Zustand$|\Psi\rangle = |\Psi\rangle_{\text{space}} \otimes |\Psi\rangle_{\text{spin}} \in H$.

Was mir nicht einfiel, ist ein antisymmetrisches Spin-Ket$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$wenn mehr als 3 Elektronen vorhanden sind. Dies würde bedeuten, dass die einzige Möglichkeit der Antisymmetrierung$|\Psi\rangle$, für$N\geq 3$, wird nur der räumliche Teil antisymmetrisiert. Ich finde es seltsam, da für$N=2$Wir haben ein antisymmetrisches Spin-Ket (den Singulett-Zustand), warum also nicht solche Kets?$N\geq 3$?

Den räumlichen Teil ignorieren und annehmen$N\geq 3$, wenn wir beschreiben wollen$N$identische Drehungen$\sigma_k = \pm$, müssen wir das Ket antisymmetrisieren$|\sigma_1\rangle |\sigma_2\rangle \cdots |\sigma_N\rangle$auf die folgende Weise

Nehmen wir zum Beispiel das folgende Ket (das wir antisymmetrisieren wollen)

Betrachten wir nur die Permutationen$p$die sich nicht ändern$|\phi\rangle$, landen wir bei einer Untergruppe$S_n S_m\subset S_N$, besteht aus:

$S_n$= Permutationen$\alpha\in S_N$die nichts ändern "$\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$"Teil und fass nicht an "$\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$" Teil

Und:

$S_m$= Permutationen$\beta\in S_N$die nicht berühren die "$\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$„Teile und ändere nicht das“$\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$" Teil

Mit$S_n S_m$alle Permutationen der Form sind$\alpha \circ \beta$

Aber die Sache ist, dass die Hälfte der Elemente von$S_n$gerade und die andere Hälfte ungerade sind, also ist die folgende Summe null:

Und eine ähnliche Berechnung hätte für jede Permutation von durchgeführt werden können$|\phi\rangle$, also bemerken, dass das ursprüngliche ket$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$ist eine Summe von Begriffen wie$A(|\phi'\rangle)$, mit$|\phi'\rangle$Permutationen von sein$|\phi\rangle$die es ändern (anders als zuvor), stellt sich heraus, dass$|\Psi\rangle_{\text{spin}} = 0$für jeden$N>2$! (mit$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$antisymmetrisch)