Eindeutige ganzzahlige Lösungen linearer Gleichungen mit irrationalen Zahlen

Question

Eindeutige ganzzahlige Lösungen linearer Gleichungen mit irrationalen Zahlen

Mathematik
irrationale Zahlen
diophantische Gleichungen

Michael Seifert

Lassen $\alpha$ Und $\beta$ irrationale Zahlen sein, so dass $\alpha/\beta$ ist auch irrational. Können wir beweisen, dass es keine möglichen ganzzahligen Lösungen für gibt

X + a j + β z = X^{'} + a j^{'} + β z^{'}

$x+ \alpha y + \beta z = x' + \alpha y' + \beta z'$ mit

x \neq x^{'}

$x \neq x'$ ,

y \neq y^{'}

$y \neq y'$ , Und

z \neq z^{'}

$z \neq z'$ ?

Es ist offensichtlich, dass es keine Lösungen gibt, bei denen nur eines der Paare „fehlgepaart“ ist (d. h. $x \neq x'$ , $y = y'$ , $z = z'$ ). Und es ist ziemlich trivial zu beweisen, dass es keine Lösungen mit zwei "nicht übereinstimmenden" Paaren gibt (z. B. $x \neq x'$ Und $y \neq y'$ Aber $z = z'$ ); der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Aber ich sehe nicht, wie ich den Beweis einfach erweitern soll, um zu zeigen, dass es keine Lösungen gibt, bei denen alle drei Werte verschieden sind.

Zum Kontext bezieht sich dies auf eine Frage zu Physics.SE bezüglich der Entartungen der Energieniveaus in einer 3-D-Box. Als ich meine Antwort dort aufschrieb, wurde mir klar, dass ich keinen prägnanten Beweis für meine Aussage über Kästen hatte, deren Seitenlängen irrationale Vielfache voneinander sind, obwohl ich mich wundern würde, wenn er sich als falsch herausstellen würde.

dxiv

Die Annahmen reichen nicht aus, betrachten Sie zum Beispiel

1 + \sqrt{8} = 1 + 2 \sqrt{2}

$1+\sqrt{8} = 1 + 2 \sqrt{2}$ oder

1 + \sqrt{2} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}

$1+\sqrt{2}=\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ . Dies würde nur gelten, wenn

α, β

$\alpha,\beta$ sind rational unabhängig .

G-Fahrerhaus

Sie sollten die Bedingung that auch hinzufügen

m α + n β

$m \alpha +n \beta$ sollte irrational sein. In der Tat, wenn

α = p i, β = 1 - π

$\alpha =pi , \beta = 1-\pi$ dann kannst du ganzzahlige Lösungen finden

G-Fahrerhaus

aber .. (ich bin nicht viel in Quantenph.) sind Boxen mit irrationalen Seiten physikalisch zulässig? sollten sie nicht quantifiziert werden?

Michael Seifert

@dxiv: Da ist das Konzept, nach dem ich gesucht habe. Und es sieht so aus, als ob

α

$\alpha$ ,

β

$\beta$ und 1 rational unabhängig sind, folgt der Beweis per Definition der rationalen Unabhängigkeit.

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Eindeutige ganzzahlige Lösungen linearer Gleichungen mit irrationalen Zahlen

Die Annahmen reichen nicht aus, betrachten Sie zum Beispiel $1+\sqrt{8} = 1 + 2 \sqrt{2}$ oder $1+\sqrt{2}=\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ . Dies würde nur gelten, wenn $\alpha,\beta$ sind rational unabhängig .
Sie sollten die Bedingung that auch hinzufügen $m \alpha +n \beta$ sollte irrational sein. In der Tat, wenn $\alpha =pi , \beta = 1-\pi$ dann kannst du ganzzahlige Lösungen finden
aber .. (ich bin nicht viel in Quantenph.) sind Boxen mit irrationalen Seiten physikalisch zulässig? sollten sie nicht quantifiziert werden?
@dxiv: Da ist das Konzept, nach dem ich gesucht habe. Und es sieht so aus, als ob $\alpha$ , $\beta$ und 1 rational unabhängig sind, folgt der Beweis per Definition der rationalen Unabhängigkeit.

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Beachten Sie, dass Ihre Frage der Frage entspricht, ob es integrale Lösungen für gibt

X + a Y + β Z = 0,

$X+\alpha Y+\beta Z=0,$ indem

X = x - x^{'}

$X=x-x'$ ,

Y = y - y^{'}

$Y=y-y'$ Und

Z = z - z^{'}

$Z=z-z'$ .

In den Kommentaren wurden zum Beispiel einfache Gegenbeispiele genannt $\beta=\alpha+1$ für jede irrationale $\alpha$ , mit $(X,Y,Z)=(1,1,-1)$ .

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Michael Seifert

dxiv

G-Fahrerhaus

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Michael Seifert

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