Für Gleichungen mit rationalen Wurzeln gibt es also einen Satz, der alle möglichen Wurzeln auflistet (Rational Root Theorem). Wenn eine Gleichung imaginäre oder irrationale Wurzeln hat, besagen ihre jeweiligen Theoreme im Wesentlichen, dass eine Gleichung nur eine gerade Anzahl dieser Wurzeln haben kann, da sie alle in konjugierten Paaren auftreten müssen.
Aber wie sieht es mit transzendenten Zahlen aus? Sie sind nicht im irrationalen Wurzelsatz enthalten, da sie nicht in der Form geschrieben werden können , und Sie können anscheinend eine beliebige Anzahl von ihnen als Wurzeln haben ( , oder ähnliche). Gibt es eine Methode, um zu bestimmen, wie viele transzendente Wurzeln eine Gleichung haben kann, ähnlich wie bei den Sätzen über imaginäre, irrationale und rationale Wurzeln?
Warum darf man manchmal drei irrationale Lösungen einer Gleichung haben? Zum Beispiel, hat drei irrationale Wurzeln (obwohl sie nicht von der Form sind ). Welche Regel erlaubt dies?
Beim rationalen Wurzelsatz geht es um algebraische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten hat keine transzendenten Wurzeln.
Das ist die Definition von transzendental .
Wenn Sie beliebige Koeffizienten zulassen, dann jede reelle Zahl ist eine Wurzel von .