Verteilung irrationaler oder transzendenter Zahlen

Nehmen wir an, wir wählen eine Zufallszahl aus 0. A B C . . . . . . . zwischen [ 0 , 1 ] wobei jede Nachkommastelle unabhängig aus einer festen diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen wird ( ∑ P ( X = N ) = 1 für N ∈ { 0 , 1 , . . .9 } ). Offensichtlich, 0 = 0. 0 ¯ Und 1 = 0. 9 ¯ sind in diesem Bereich enthalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallszahl irrational/transzendent ist? Gibt es unendlich mehr transzendente Zahlen als irrationale Zahlen? Können wir eine geschlossene Lösung für die gleichmäßige Verteilung erhalten? Kann man eine Verteilung so wählen, dass sie immer eine irrationale oder rationale Zahl erzeugt? Offensichtlich ist es möglich, nur rationale Zahlen zu erzeugen, indem die Verteilung auf eine feste Punktmasse festgelegt wird.

Antworten (1)

Die rationalen Zahlen sind lediglich abzählbar unendlich, während die reellen Zahlen überabzählbar unendlich sind, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl im Intervall [0, 1] irrational ist, „gewiss“.

Die algebraischen Zahlen sind auch zählbar unendlich, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in diesem Intervall transzendent ist, auch "Sicherheit".

Danke. Gibt es einen Beweis dafür, dass algebraische Zahlen abzählbar unendlich sind?
Es ist ähnlich wie beim Beweis der Zählbarkeit der rationalen Zahlen: Die Anzahl der Polynome beliebigen Grades ist abzählbar unendlich, da jeder Term einen ganzzahligen Koeffizienten hat und Polynome jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Termen haben. Die Anzahl der Nullen (die algebraische Zahlen sind) jedes Polynoms ist eine ganze Zahl, also haben wir ein "kartesisches Produkt" von abzählbar unendlichen Mengen.
Macht Sinn! vielen Dank für die einfache Erklärung
Der Teil, der sich für mich immer "am seltsamsten anfühlt", ist, dass, sobald Sie das Konzept der reellen Zahlen akzeptieren, "fast keine" von ihnen eine rationale oder sogar eine algebraische Zahl ist ...
So wahr! Wirklich sehr interessant. Die meisten Zahlen scheinen seltsam zu sein
Verteilung irrationaler oder transzendenter Zahlen
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