Potenzen von 1+a√21+a2\frac{1+\sqrt a}2

Für jedes a, das kein perfektes Quadrat ist, lassen Sie$x=\frac{1+\sqrt a}2$.

$x^n$kann eindeutig geschrieben werden als$b_nx+c_n$, wobei b und c rational sind.

Außer, abgesondert, ausgenommen$a=0, a=1, a= 1 \pm 2^m$für$m>2$, gibt es noch andere Werte von$a$wofür$b$oder$c$ist eine ganze Zahl für unendlich viele$n$? Wenn nicht, gibt es Obergrenzen für die Werte von n für die$b$oder$c$ist eine ganze Zahl?

zB für$a=7$

$\\b \ c\\ 0 \ 1\\ 1 \ 0\\ 1 \ \frac{3}2\\ \frac{5}2 \ \frac{3}2\\ 4 \ \frac{15}2\\ \frac{23}2 \ 6\\ \frac{35}2 \ \frac{69}4$

$b_n=b_{n-1}+c_{n-1}$Und$c_n=\frac{a-1}4b_{n-1}$