Ich habe etwas Falsches bewiesen. Wenn a und b irrational sind, dann ist a + b irrational oder rational.

Question

Ich habe etwas Falsches bewiesen. Wenn a und b irrational sind, dann ist a + b irrational oder rational.

Logik
gefälschte Beweise
Mathematik
Teilbarkeit
Zahlentheorie
irrationale Zahlen

oliver

Ich übe und habe diese Frage gefunden.

Wenn $a$ Und $b$ irrational sind, entweder beweisen oder widerlegen $a + b$ ist irrational.

Also habe ich es mit Widerspruch versucht (zu a + b ist irrational).

Lassen $a$ Und $b$ beliebige irrationale Zahlen sein. Annehmen, dass $a + b$ ist vernünftig.

Dann $a + b = x/y$ für einige ganze Zahlen $x$ Und $y$ .

Dann $y(a + b) = x$

Und $ay + by = x$

Weil $x$ war eine ganze Zahl $ay$ ist eine ganze Zahl und $by$ ist eine ganze Zahl.

Dann $a$ teilt $ay$ Und $b$ teilt $by$ . Aber das ist unmöglich, weil a irrational und b irrational und y eine ganze Zahl ist.

So $a+b$ muss auch irrational sein.

Jetzt weiß ich, dass das falsch ist. Weil ich ein Gegenbeispiel als Lösung gefunden habe.

$sqrt(2)$ + $-sqrt(2)$ = 0.

Kann jemand auf meinen Logikfehler hinweisen? Vielen Dank im Voraus!

Bill Dubuque

Da Sie ein Gegenbeispiel kennen, prüfen Sie in diesem Fall einfach Ihren Beweis, bis Sie eine Zeile erreichen, die falsch ist. Sie gelangen zu „Weil

x

$x$ war eine ganze Zahl

y \sqrt{2}

$y\sqrt 2$ ist eine ganze Zahl", was den Widerspruch ergibt, dass

\sqrt{2} \in Q,

$\,\sqrt{2}\in\Bbb Q,\,$ seit

y \neq 0.

$\,y\neq 0.\,$ Diese Schlussfolgerung ist also falsch, was den Beweis ungültig macht. Ihr Gegenbeispiel ist also auch ein Gegenbeispiel zu dieser behaupteten Schlussfolgerung, dh

x + y \in Z \Rightarrow x, y \in Z .

$\,x+y\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, x,y\in\Bbb Z.\ \$

Bill Dubuque

Die obige Methode funktioniert im Allgemeinen, um Beweise zu debuggen, wenn Sie ein Gegenbeispiel kennen, zB hier und hier und hier für einige ausgearbeitete Beispiele und weitere Diskussionen.

Yong Hao Ng

Sie können "\sqrt n" anstelle von "sqrt n" verwenden, um zu erhalten

\sqrt{n}

$\sqrt n$ , falls Sie es noch nicht wussten.

oliver

@Yao Hao Ng, danke, das wusste ich nicht!

Antworten (3)

Ich habe etwas Falsches bewiesen. Wenn a und b irrational sind, dann ist a + b irrational oder rational.

Da Sie ein Gegenbeispiel kennen, prüfen Sie in diesem Fall einfach Ihren Beweis, bis Sie eine Zeile erreichen, die falsch ist. Sie gelangen zu „Weil $x$ war eine ganze Zahl $y\sqrt 2$ ist eine ganze Zahl", was den Widerspruch ergibt, dass $\,\sqrt{2}\in\Bbb Q,\,$ seit $\,y\neq 0.\,$ Diese Schlussfolgerung ist also falsch, was den Beweis ungültig macht. Ihr Gegenbeispiel ist also auch ein Gegenbeispiel zu dieser behaupteten Schlussfolgerung, dh $\,x+y\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, x,y\in\Bbb Z.\ \$
Die obige Methode funktioniert im Allgemeinen, um Beweise zu debuggen, wenn Sie ein Gegenbeispiel kennen, zB hier und hier und hier für einige ausgearbeitete Beispiele und weitere Diskussionen.
Sie können "\sqrt n" anstelle von "sqrt n" verwenden, um zu erhalten $\sqrt n$ , falls Sie es noch nicht wussten.

Kavi Rama Murthy · Answer 1

$ay$ Und $by$ müssen in Ihrem Beweis keine ganzen Zahlen sein.

$0=\sqrt 2 +(-\sqrt 2)$ . Wenn die Summe zweier Zahlen eine ganze Zahl ist, kann man nicht sagen, dass beide Zahlen ganze Zahlen sind.

Danke @Kabo Murphy, es tut mir leid, dass ich langsam bin. Wenn ich x nicht Null sein lassen würde, kann ay + by keine ganze Zahl und gleich einer ganzen Zahl sein? Etwa wenn x/y eine rationale Zahl ungleich Null ist.
$1 =(\sqrt 2) +(1-\sqrt 2)$ ; jede ganze Zahl kann als Summe von Nicht-Ganzzahlen geschrieben werden. @Oliver

DerDoyduro · Answer 2

Der Fehler liegt in dem Schritt, in dem Sie sagen: "Weil $x$ war eine ganze Zahl $ay$ ist eine ganze Zahl und $by$ ist eine ganze Zahl."

Wie Ihr Gegenbeispiel zeigt, kann die Summe zweier nicht ganzzahliger reeller Zahlen eine ganze Zahl sein.

Ich habe es von Kabos freundlichem zweiten Kommentar, danke!

Peter · Answer 3

Der Fehler ist das $\ ay\$ Und $\ by\$ können seither keine ganzen Zahlen sein $\ a\$ Und $\ b\$ sind irrational und $\ y\$ eine ganze Zahl ungleich Null.

Hallo @Peter danke. Ja, das war die Idee meines Beweises, dass sie keine ganzen Zahlen sein können. Ich ging einfach weiter. Aber wenn sie keine ganzen Zahlen sein können, kann a + b nicht rational sein, also muss es irrational sein? Es tut mir leid, dass ich langsam bin
Wenn $\ a\$ Und $\ b\$ sind irrational, $\ a+b\$ kann alles sein: irrational, rational und sogar eine ganze Zahl. Aber in Ihrem Beweis haben Sie das anscheinend verwendet $\ ay\$ Und $\ by\$ ganze Zahlen sind, was nicht der Fall ist.

Ich habe etwas Falsches bewiesen. Wenn a und b irrational sind, dann ist a + b irrational oder rational.

oliver

Bill Dubuque

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