Enthält ππ\pi alle möglichen Zahlenkombinationen?

Es ist nicht wahr, dass eine unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl „jede mögliche Zahlenkombination“ enthalten muss. Die Dezimalzahl$0.011000111100000111111\dots$ist ein einfaches Gegenbeispiel. Wenn jedoch die Dezimalerweiterung von$\pi$jede mögliche endliche Ziffernfolge enthält, was ziemlich wahrscheinlich erscheint, dann ist der Rest der Aussage in der Tat richtig. Natürlich enthält es dann unter anderem auch numerische Äquivalente zu jedem Buch, das nie geschrieben wird.

Lassen Sie mich die Dinge zusammenfassen, die wahr sind, und noch etwas hinzufügen.

1. $\pi$Es ist nicht bekannt, dass es diese Eigenschaft hat, aber es wird erwartet, dass es wahr ist.
2. Diese Eigenschaft folgt nicht aus der Tatsache, dass die Dezimalentwicklung von$\pi$ist unendlich und wiederholt sich nicht.

Die eine weitere Sache ist die folgende. Die Behauptung, dass die Antwort auf jede Frage, die man stellen möchte, irgendwo in den Ziffern von enthalten ist$\pi$mag stimmen, ist aber nutzlos. Hier ist eine Zeichenfolge, die diesen Punkt klarer machen kann: reihen Sie einfach jeden möglichen Satz auf Englisch aneinander, zuerst der Länge nach und dann in alphabetischer Reihenfolge. Die resultierende Zeichenfolge enthält die Antwort auf jede Frage, die Sie möglicherweise stellen möchten, aber

• das meiste davon ist Müll,
• Sie haben keine Möglichkeit, a priori zu wissen , was Müll ist und was nicht
• Die einzige Möglichkeit, auf einen Teil der Zeichenfolge zu verweisen, der kein Müll ist, besteht darin, seine Position in der Zeichenfolge zu beschreiben, und die dazu erforderlichen Bits selbst bilden eine (schreckliche) Codierung der Zeichenfolge. Diesen Ort zu finden ist also genauso schwierig wie die Zeichenfolge selbst zu finden (d. h. die Antwort auf die Frage zu finden, die Sie stellen wollten).

Mit anderen Worten, ein String, der alles enthält, enthält nichts. Nützliche Kommunikation ist nützlich wegen dem, was sie nicht enthält.

Sie sollten das alles im Hinterkopf behalten und dann Jorge Luis Borges' Die Bibliothek von Babel lesen . (Eine Bibliothek, die jedes Buch enthält, enthält keine Bücher.)

Das wird allgemein angenommen$\pi$ist eine normale Nummer . Dies (oder sogar die schwächere Eigenschaft, disjunktiv zu sein ) impliziert, dass jede mögliche Zeichenfolge irgendwo in ihrer Erweiterung vorkommt.

Also ja, es enthält die Geschichte Ihres Lebens – aber es enthält auch viele falsche Geschichten, viele subtil falsche Aussagen und viel Kauderwelsch.

Laut Mathematica wann$\pi$wird in Basis 128 ausgedrückt (dessen Ziffern daher als ASCII-Zeichen interpretiert werden können),

• "NEIN" erscheint an Position 702;

• An Position 303351 erscheint „Ja“.

Gegeben (in Anlehnung an Feynman in seinen Lectures on Physics ), dass jede Frage$A$mit möglicher Antwort$A'$(richtig oder nicht) kann in der Form „Ist$A'$eine richtige Antwort auf$A$?", und dass solche Fragen entweder mit "nein" oder "ja" beantwortet werden können, beweist dies den zweiten Satz der Behauptung – und zeigt, wie leer eine Behauptung ist. (Wie andere bemerkt haben, hängt der erste Satz – abhängig von auf seine Interpretation - ist entweder falsch oder hat einen unbekannten Wahrheitswert.)

Code

pNO = FromCharacterCode[RealDigits[\[Pi], 128, 710]];
pYes = FromCharacterCode[RealDigits[\[Pi], 128, 303400]];
{StringPosition[pNO, "NO"], StringPosition[pYes, "Yes"]}

{{{{702, 703}}, {}}, {{{303351, 303353}}, {}}}

Dies ist eine offene Frage. Es ist noch nicht bekannt, ob$\pi$ist eine normale Nummer.

http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html

Ob es wahr ist oder nicht, es ist absolut nutzlos.

Stellen Sie sich vor, Sie finden Ihre Lebensgeschichte: eine ausführlich dokumentierte und fehlerfreie Erzählung von jedem Tag Ihres Lebens ... bis gestern, wo es heißt, dass Sie gestorben sind, und plötzlich wieder in Kauderwelsch zurückfällt. Wenn pi wirklich alle möglichen Strings enthält, dann ist diese Geschichte auch drin. Nun stell dir vor, es hieße, du stirbst morgen. Würden Sie es glauben oder weiter nach der nächsten Kopie Ihrer Lebensgeschichte suchen?

Das Problem ist, dass die Informationen keine Struktur haben . Es würde eine herkulische Anstrengung erfordern, all diese Daten zu verarbeiten, um zum "richtigen" Abschnitt zu gelangen, und immense Weisheit, um sie als richtig zu erkennen. Wenn Sie also daran gedacht haben, Pi als Orakel zu verwenden, um diese Dinge zu bestimmen, können Sie genauso gut jedes einzelne Atom zählen, das den Planeten Erde umfasst. Das sollte als nettes Aufwärmen dienen.

Im Allgemeinen ist es nicht wahr, dass eine "unendliche sich nicht wiederholende Dezimalzahl" irgendeine Sequenz enthält. Betrachten Sie zum Beispiel die Nummer$0.01001000100001000001000000100000001...$.

Es ist jedoch nicht bekannt, ob$\pi$enthält jede Sequenz.

Das ist falsch. Claim: Unendlich und Non-Repeating, muss daher JEDE Kombination haben.

Gegenbeispiel: 01001100011100001111... Dies ist unendlich und wiederholt sich nicht, hat aber nicht jede Kombination.

Nur weil etwas unendlich ist und sich nicht wiederholt, bedeutet das nicht, dass es jede Kombination hat.

Pi kann tatsächlich jede Kombination haben, aber Sie können diese Behauptung nicht verwenden, um zu sagen, dass dies der Fall ist.

Herausforderung angenommen. In der folgenden Datei sind die ersten 1.048.576 Ziffern (1 Megabyte) von pi (einschließlich der führenden 3) in ANSI konvertiert (mit Unterstützung des in https://stackoverflow.com/questions/12991606/ beschriebenen Algorithmus ):

https://docs.google.com/file/d/0B9plORbvSu2ra1Atc0QwOGhYZms/edit

Und auch wenn deine Aussage mit zutrifft$\pi$, macht es nicht$\pi$speziell. Wenn wir zufällig eine reelle Zahl treffen, mit Wahrscheinlichkeit$1$Wir werden eine normale Nummer treffen. Das ist "fast alle" reelle Zahl ist so. Die Menge der nicht normalen Zahlen hat das Lebesgue-Maß Null.

Ich glaube, die Aussage könnte genauer formuliert werden. Angesichts der vernünftigen Annahme, dass sich PI unendlich nicht wiederholt, folgt daraus nicht, dass es tatsächlich eine bestimmte Sequenz enthalten würde.

Nehmen Sie dieses Gedankenexperiment als Analogie. Stellen Sie sich vor, Sie müssten für alle Ewigkeit in einem Raum sitzen und Worte sagen, ohne je zweimal dasselbe Wort zu sagen. Sie würden sehr bald feststellen, dass Sie sehr lange Wörter sagen. Aber es gibt keinen logischen Grund, warum Sie zuerst alle möglichen kurzen Wörter aufbrauchen sollten. Tatsächlich könnten Sie die Wörter "ja" oder jedes Wort, das den Buchstaben "y" enthält, oder jede andere beliebige Teilmenge der unendlichen Menge möglicher Wörter systematisch ausschließen.

Gleiches gilt für Ziffernfolgen in PI. Es ist sehr wahrscheinlich, dass jede denkbare Sequenz in PI gefunden werden kann, wenn Sie lange genug rechnen, aber es ist nicht durch die vorgeschriebenen Bedingungen garantiert.

Dieses Bild enthält eine Reihe von sachlichen Fehlern, aber der wichtigste ist die irreführende Behauptung, dass Irrationalität Disjunktivität impliziert.

Man kann leicht eine nicht-disjunktive, irrationale Zahl konstruieren. Lassen$r = \sum\limits_{n = 0}^\infty 2^{-n} \begin{cases} 1 & \text{if } 2 | n \\ s_n & \text{else} \end{cases}$für jede nicht periodische Folge$s_n \in \{0,1\}$.

Es ist nicht bekannt, ob$\pi$ist tatsächlich disjunktiv (oder sogar normal).