Kann eine irrationale Zahl eine endliche Anzahl einer bestimmten Ziffer haben?

Diese Frage kam auf, weil ich mich gefragt habe: Wenn die Ziffern von PI in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind, was ist die <insert-large-finite-number-hier>-te Ziffer?

Ich glaube, dass die Antwort 0 ist, aber ich bin mir nicht sicher. Der Grund, warum ich mir nicht sicher bin, hängt von der Antwort darauf ab, ob eine irrationale Zahl eine endliche Zahl einer bestimmten Ziffer haben kann. Wenn dies der Fall ist, dann ist es denkbar, dass es endlich viele Nullstellen geben könnte. Nehmen wir als Beispiel an, dass wir jede Ziffer von PI durch die Funktion codieren werden

F ( X ) = { 10 + X , w H e N X ≠ 0 99 , w H e N X = 0
Das heißt zum Beispiel, wenn ich die Ziffern von codiere 20 , dann würde ich die ersetzen 2 mit F ( 2 ) und das 0 mit F ( 0 ) Ich würde als Endergebnis erhalten, 1299 . Diese Abbildungsfunktion scheint Nullen vollständig aus der Antwort zu eliminieren. Indem ich dasselbe mit PI mache, kann ich seine Nullen vollständig eliminieren. Denkbar erscheint auch, dass ich noch eine eindeutige Abbildung erzeugen kann, wenn ich die Funktion auf Ziffern erst nach der ersten Null anwende.

Also : Ist mein Argument stichhaltig? Ist es möglich, eine irrationale Zahl mit einer endlichen Zahl einer bestimmten Ziffer in eine zu verwandeln? Ist es außerdem möglich zu beweisen, ob eine beliebige irrationale Zahl eine endliche Anzahl einer bestimmten Ziffer hat?

Sie fragen also tatsächlich: Ist jede irrationale Zahl...?

Antworten (3)

Die Nummer 0,010010001000010000010000001 … ist irrational und hat keine Instanzen einer anderen Ziffer als 0 Und 1 . Wählen Sie im Allgemeinen zwei beliebige Ziffern aus D Und e , und bilde die Zahl

0. D e D e e D e e e D e e e e D e e e e e D … ;

es wird nie periodisch, also ist es irrational. Natürlich kann man zwischen dem Dezimalpunkt und der Erweiterung einer irrationalen Zahl jede endliche Ziffernfolge einfügen und hat immer noch eine irrationale Zahl, z. 0,345345010010001000010000010000001 … .

Ich denke, das OP bedeutete so etwas wie 0,8787100100010000 ⋯ . Da die 8 Und 7 kommen nur zweimal vor. Im Grunde wollen wir eine Summe aus einem rationalen plus einem "lückenhaften" irrationalen, denke ich.
@Peter: Ich hielt es für offensichtlich, dass man jeder endlichen Zeichenfolge ein Präfix voranstellen könnte, aber ich werde das hinzufügen.
Aber ist es möglich zu beweisen, ob eine beliebige irrationale Zahl eine feste Anzahl einer bestimmten Ziffer hat oder nicht?
@Maz: Nicht im Allgemeinen, nein.

Ja. Lassen Sie für ein extremes Beispiel A Dezimalerweiterung haben

0,101001000100001000001 … .
Die Zahl der 0 's zwischen aufeinanderfolgenden 1 ist 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , usw. Also die Dezimalentwicklung von A kann nicht letztendlich periodisch sein, und daher A ist irrational.

Übrigens ist nicht bekannt, ob die Dezimalerweiterung von π hat unendlich viele 0 'S. Das Gleiche gilt für jede andere Ziffer.

Natürlich kann man vor der "binären" Sequenz eine beliebige endliche Zahlenfolge hinzufügen, um die Anforderung des OP zu erfüllen.

Ja, und ohne Ihnen ein weiteres Beispiel zu geben, lassen Sie mich Ihnen stattdessen das Vokabular geben. Eine irrationale Zahl wird als "normale" Zahl bezeichnet, wenn jede Ziffer, 0 bis 9 zur Basis 10, und in jedem Basiszahlensystem in gleichen Mengen vorkommt. Alle irrationalen Zahlen müssen mindestens zwei eindeutige Ziffern in unendlicher Menge enthalten, aber nicht unbedingt in gleichen Anteilen.

Erfordert die Normalität nicht , dass jede Zeichenfolge, nicht nur jede Ziffer, gleichmäßig verteilt ist? Bedeutet die Forderung, dass jede Ziffer in JEDER Basis gleichmäßig verteilt ist, dass auch jeder String gleichmäßig verteilt ist?
Tatsächlich müssen mindestens zwei in derselben Menge vorkommen (so wie es genauso viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen gibt). Nehmen Sie an, dass alle Ziffern unterschiedlich oft vorkommen. Dann wird man am häufigsten vorkommen. Da die Anzahl der Ziffern in einer irrationalen Zahl ist ℵ 0 die Summe der Vorkommnisse wird das sein. Damit dies wahr ist, muss der Größte sein ℵ 0 . Dann müssen die anderen weniger und daher endlich sein. Sie werden irgendwann ausgehen, und dann wird es nur die größte vorkommende Ziffer sein, was es rational macht, was ein Widerspruch ist!
Daher müssen zwei gleich oft vorkommen, ℵ 0 .
@QuinnCulver Es stellt sich heraus, dass die Antwort ja lautet, aber dies ist ein nicht triviales Ergebnis - ich schlage vor, Abschnitt 3.5 in Band 2 von Donald Knuths The Art of Computer Programming zu lesen , insbesondere Theorem C dort.
Kann eine irrationale Zahl eine endliche Anzahl einer bestimmten Ziffer haben?
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