Das Treppenparadox oder warum π≠4π≠4\pi\ne4

Question

Das Treppenparadox oder warum π≠4π≠4\pi\ne4

Pi
Analyse
Geometrie
gefälschte Beweise
Mathematik

Pratik Deoghare

Was ist falsch an diesem Beweis?

Ist $\pi=4?$

JJ

Das Problem ist, dass es sich dem Kreis nicht "sanft" nähert.

Ross Millikan

Nur für sehr große Werte von

π

$\pi$

Friedrich Meier

Sie können den gleichen "Trick" mit einem Dreieck machen und damit dem Satz des Pythagoras "widersprechen".

Raskolnikow

Die Längen der Kurven bilden sicherlich eine Reihe, die bis zu einer oberen Schranke für reicht

π

$\pi$ . :P Die Kommentare an der Quelle sind wirklich lustig.

Jonas Meier

Das wurde fast zum Gesetz gemacht

π = 4

$\pi=4$ (Und

3.2

$3.2$ ) in Indiana im Jahr 1897: en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill

Mike Spivey

Eine verwandte Frage (eine Dimension höher) ist diese: math.stackexchange.com/questions/6979 .

Ryan Budney

Ich nehme an, eine verwandte Frage wäre: "Wie lang ist ein Slinky?" Die Antwort hängt natürlich davon ab, ob sich der Slinky in seinem "ruhenden/verpackten" Zustand befindet oder ob er ausgefahren ist. Im obigen Beispiel messen Sie die Länge des Kreises mit einem "komprimierten" Slinky, aber Sie nennen die Länge davon die Länge des "gestreckten" Slinky. Es ist wie ein Zaubertrick, aber die Magie liegt in der fehlenden Präzision dessen, was Sie zu messen versuchen.

Bey

Ich kann nicht glauben, dass reddit den Weg hierher gefunden hat ...

Thomas Ahle

Der Beweis für einen Dummkopf, um zu sehen, dass er nicht zu einem Kreis konvergiert: Sein Umfang ist 4.

NS

Der lustige Teil ist, dass das Bild das tatsächlich beweist

π < 4

$\pi <4$ . Tatsächlich ist die Fläche des Kreises

\frac{π}{4}

$\frac{\pi}{4}$ , und nach der ersten Iteration ist die Fläche des Zwölfecks streng kleiner als 1. Und als Flächen wäre der Begrenzungsprozess richtig ....

Rote Banane

Ich denke, dieser Beweis ist brauchbarer.

BlueTrin

Hat jemand versucht, die Fläche im Inneren zu quadrieren, um zu sehen, was die untere Grenze wäre?

Benutzer59671

π = a r g (i) = 3 π = 4

$\pi=arg(i)=3\pi=4$ . So

4

$4$ ist mehrwertig wie

π

$\pi$ .

Asaf Karagila

Wie können die Antworten veraltet sein?! Jemand hat Mathe geändert und ich wurde nicht informiert?

TrueDefault

Was wäre, wenn der Durchmesser nicht 1, sondern etwa 8 wäre? Idk nur ein Vorschlag

Felix Marin

@xport Ich denke das! im letzten Bild bedeutet "Überraschung!!!". Es war ein unglücklicher Zufall.

Gerrit

Meine erste Programmiererfahrung mit Schildkrötengrafiken bestand darin, einen Kreis zu zeichnen: „Wiederhole 360: vorwärts 1, rechts 1“. Das brachte jahrelang die Idee eines Kreises in meinem 9-jährigen Kopf durcheinander.

Daniel Wainfleet

Über die „Indiana Pi Bill of 1897“ können Sie auch im Buch „A Brief History of Pi“ nachlesen.

Neugierig

In der Analysis würde der Umfang des Kreises nicht durch die Summen der Seiten der winzigen Rechtecke angenähert. Stattdessen würde der Umfang des Kreises durch die Summen der Hypotenusen dieser winzigen Rechtecke angenähert. Allein durch Intuition können Sie sagen, dass die Summen der Hypotenusen eine bessere Näherung für den Umfang eines Kreises sind.

NSJOHN

@RossMillikan Es tut mir leid, dass ich nicht verstehe, was Sie mit „Nur für sehr große Werte von

π

$\pi$ "

Ross Millikan

@NSJOHN: Es ist eine Anspielung auf einen alten Witz, wo Sie hier eine Konstante behandeln

π

$\pi$ , als Variable. Man könnte sagen

\sqrt{2} \approx 1.5

$\sqrt 2 \approx 1.5$ für große Werte von

2

$2$ .

Narasimham

Kochkurve, Schneeflocke, Fraktal Weierstraß P....

Doug Spoonwood

Dies ist KEIN Problem für die Methode von Archchimedes. Das Verfahren von Archimedes verwendet einbeschriebene Polygone UND umschriebene Polygone, so dass die Anzahl der Seiten beider Arten von Polygonen iterativ zunimmt. Damit liegt pi a priori als Größe zwischen zwei rationalen Zahlen .

Einfach schöne Kunst

Die sogenannte "Quelle" hat nichts mit der Frage zu tun und ist höchst unangemessen, deshalb habe ich sie entfernt. Oder es ist ein defekter Link. Ich habe es so gelassen, dass es jetzt nicht direkt sichtbar ist.

Herr Pie

Sagst du das

π = 1 \times 2 \times 3 \times 4

$\pi = 1\times 2\times 3\times 4$ ?? :)

Benutzer123641

Wenn Sie etwas Konkretes nehmen, das kreisförmig ist (mit einem Radius von 1), und eine Schnur der Länge 4 nehmen, besteht der Prozess, den Sie auf dem Bild machen, im Wesentlichen darin, die Schnur immer näher an die Grenze des kreisförmigen Objekts zu bündeln. Aber Sie "ziehen die Schnur nicht fester". Die gezogene Schnur gibt den Umfang, nicht die gebündelte.

Markus

... puh. Moral der Geschichte: Man kann niemals einen Kreis machen, indem man Ecken abschneidet.

Jimmy Carter

Viele der Antworten befassen sich mit der Beantwortung dieser Frage mit rigoroser Mathematik auf hohem Niveau. Es ist nicht befriedigend, einen "Beweis" zu haben, der mit Geometrie der 9. Klasse verständlich ist, aber einen Gegenbeweis, der Mathematik auf College-Niveau erfordert.

Antworten (23)

Das Treppenparadox oder warum π≠4π≠4\pi\ne4

Das Problem ist, dass es sich dem Kreis nicht "sanft" nähert.
Sie können den gleichen "Trick" mit einem Dreieck machen und damit dem Satz des Pythagoras "widersprechen".
Die Längen der Kurven bilden sicherlich eine Reihe, die bis zu einer oberen Schranke für reicht $\pi$ . :P Die Kommentare an der Quelle sind wirklich lustig.
Das wurde fast zum Gesetz gemacht $\pi=4$ (Und $3.2$ ) in Indiana im Jahr 1897: en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill
Eine verwandte Frage (eine Dimension höher) ist diese: math.stackexchange.com/questions/6979 .
Ich nehme an, eine verwandte Frage wäre: "Wie lang ist ein Slinky?" Die Antwort hängt natürlich davon ab, ob sich der Slinky in seinem "ruhenden/verpackten" Zustand befindet oder ob er ausgefahren ist. Im obigen Beispiel messen Sie die Länge des Kreises mit einem "komprimierten" Slinky, aber Sie nennen die Länge davon die Länge des "gestreckten" Slinky. Es ist wie ein Zaubertrick, aber die Magie liegt in der fehlenden Präzision dessen, was Sie zu messen versuchen.
Ich kann nicht glauben, dass reddit den Weg hierher gefunden hat ...
Der Beweis für einen Dummkopf, um zu sehen, dass er nicht zu einem Kreis konvergiert: Sein Umfang ist 4.
Der lustige Teil ist, dass das Bild das tatsächlich beweist $\pi <4$ . Tatsächlich ist die Fläche des Kreises $\frac{\pi}{4}$ , und nach der ersten Iteration ist die Fläche des Zwölfecks streng kleiner als 1. Und als Flächen wäre der Begrenzungsprozess richtig ....
Hat jemand versucht, die Fläche im Inneren zu quadrieren, um zu sehen, was die untere Grenze wäre?
Wie können die Antworten veraltet sein?! Jemand hat Mathe geändert und ich wurde nicht informiert?
Was wäre, wenn der Durchmesser nicht 1, sondern etwa 8 wäre? Idk nur ein Vorschlag
@xport Ich denke das! im letzten Bild bedeutet "Überraschung!!!". Es war ein unglücklicher Zufall.
Meine erste Programmiererfahrung mit Schildkrötengrafiken bestand darin, einen Kreis zu zeichnen: „Wiederhole 360: vorwärts 1, rechts 1“. Das brachte jahrelang die Idee eines Kreises in meinem 9-jährigen Kopf durcheinander.
Über die „Indiana Pi Bill of 1897“ können Sie auch im Buch „A Brief History of Pi“ nachlesen.
In der Analysis würde der Umfang des Kreises nicht durch die Summen der Seiten der winzigen Rechtecke angenähert. Stattdessen würde der Umfang des Kreises durch die Summen der Hypotenusen dieser winzigen Rechtecke angenähert. Allein durch Intuition können Sie sagen, dass die Summen der Hypotenusen eine bessere Näherung für den Umfang eines Kreises sind.
@RossMillikan Es tut mir leid, dass ich nicht verstehe, was Sie mit „Nur für sehr große Werte von $\pi$ "
@NSJOHN: Es ist eine Anspielung auf einen alten Witz, wo Sie hier eine Konstante behandeln $\pi$ , als Variable. Man könnte sagen $\sqrt 2 \approx 1.5$ für große Werte von $2$ .
Dies ist KEIN Problem für die Methode von Archchimedes. Das Verfahren von Archimedes verwendet einbeschriebene Polygone UND umschriebene Polygone, so dass die Anzahl der Seiten beider Arten von Polygonen iterativ zunimmt. Damit liegt pi a priori als Größe zwischen zwei rationalen Zahlen .
Die sogenannte "Quelle" hat nichts mit der Frage zu tun und ist höchst unangemessen, deshalb habe ich sie entfernt. Oder es ist ein defekter Link. Ich habe es so gelassen, dass es jetzt nicht direkt sichtbar ist.
Wenn Sie etwas Konkretes nehmen, das kreisförmig ist (mit einem Radius von 1), und eine Schnur der Länge 4 nehmen, besteht der Prozess, den Sie auf dem Bild machen, im Wesentlichen darin, die Schnur immer näher an die Grenze des kreisförmigen Objekts zu bündeln. Aber Sie "ziehen die Schnur nicht fester". Die gezogene Schnur gibt den Umfang, nicht die gebündelte.
... puh. Moral der Geschichte: Man kann niemals einen Kreis machen, indem man Ecken abschneidet.
Viele der Antworten befassen sich mit der Beantwortung dieser Frage mit rigoroser Mathematik auf hohem Niveau. Es ist nicht befriedigend, einen "Beweis" zu haben, der mit Geometrie der 9. Klasse verständlich ist, aber einen Gegenbeweis, der Mathematik auf College-Niveau erfordert.

Ross Millikan · Answer 1

Ross Millikan

Diese Frage wird normalerweise als die Länge der Diagonalen eines Einheitsquadrats gestellt. Sie beginnen, von einer Ecke zur gegenüberliegenden zu gehen, indem Sie dem Umfang folgen, und beobachten Sie die Länge $2$ , dann immer kürzere Treppenstufen nehmen und die Länge ist $2$ aber dein Weg nähert sich der Diagonale. So $\sqrt{2}=2$ .

In beiden Fällen nähern Sie sich dem Bereich, aber nicht der Weglänge. Sie können dies strenger machen, indem Sie in Inkremente aufbrechen und dem Beweis der Riemann-Summe folgen. Der Flächenunterschied zwischen den beiden Kurven geht schön gegen Null, aber der Unterschied in der Bogenlänge bleibt konstant.

Bearbeiten: das Quadrat expliziter machen. Stellen Sie sich vor, Sie teilen die Diagonale in $n$ Segmente und eine Treppenstufennäherung. Jedes Dreieck ist $(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{\sqrt{2}}{n})$ . Also der Bereich zwischen den Treppenstufen und der Diagonalen $n \frac{1}{2n^2}$ die konvergiert zu $0$ . Die Weglänge ist $n \frac{2}{n}$ , die noch schöner zu konvergiert $2$ .

Zach Conn

Die Ablehnung kam von mir. Ich habe es hinzugefügt, kurz nachdem Sie Ihre Antwort gepostet hatten, als es keine anderen Antworten gab, die Ihre ergänzen könnten. Meine Begründung war, dass, basierend darauf, wie andere Leute (nicht hier) versucht haben, diese Frage zu beantworten, alles andere als eine völlig rigorose Demonstration nicht ausreichen würde, einfach weil fast jede intuitive Erklärung in diesem Fall plausibel erscheint. Ich habe später versucht, die Ablehnung zu entfernen, als mir klar wurde, dass es eine Vielzahl von Antworten gab und dass Ihre die anderen gut ergänzten, aber weil eine Stunde vergangen war, war (und bin) ich nicht in der Lage, dies zu tun.

Mike Spivey

@Zach Conn: Nachdem Ross seine Antwort bearbeitet hat, glaube ich, dass Sie Ihre Ablehnung entfernen können, wenn Sie dies immer noch möchten.

Ross Millikan

Ich war nicht so besorgt über die Punkte, sondern darüber, einen Kunden nicht zufrieden zu stellen. Zachs Kommentar, dass es nette intuitive Erklärungen gibt, die zu falschen Schlussfolgerungen führen, ist gut getroffen.

przemoc

Mit anderen Worten, der benutzerdefinierte Umfang im Bild von OP konvergiert auf 4 Bereiche und der Umfang der Treppenstufen, die auf der Diagonale gebaut wurden, konvergiert auf 2 Bereiche, dh Bereiche des Rechtecks 1 xa (a = quadratische Seitenlänge). Nitpicking: Die Fläche zwischen den Treppenstufen und der Diagonale ist eigentlich n*1/(2n^2).

Superkatze

Als ich die Frage sah, wurde ich sofort an das „diagonale“ Paradoxon in einem von Dudneys Rätselbüchern erinnert. Ich glaube jedoch nicht, dass ich dort oder hier gesehen habe, was ich als die "echte" Antwort betrachten würde, nämlich dass jedes Mal, wenn man das Problem halbiert, die Fehlermenge in jedem Stück halbiert wird, aber die Anzahl Stück verdoppelt . Damit eine durch Problemreduktion berechnete Grenze gültig ist, muss der Fehler pro Stück schneller abnehmen, als die Stückzahl zunimmt.

Superkatze

Übrigens, in ähnlicher Weise gab ein Redner, den ich sah, wie er den Trick machte, ein riesiges Loch in ein kleines Stück Papier zu schneiden (falten und abwechselnd innen und außen schneiden), eine meiner Meinung nach brillante Erklärung: beim Schneiden eines " normales" Loch erhöht der Versuch, die Papierfläche zu reduzieren, die für jeden linearen Zoll des Parameters erforderlich ist, auch die Menge an Papier, die in dem Loch selbst verschwendet wird, und verringert die Menge an Papier, die zur Herstellung des Umfangs verfügbar ist. Die "Trick"-Schnitttechnik ermöglicht es, den Umfang dünner zu machen, ohne den Materialverlust zu erhöhen.

Emanuel Paolini

Ich glaube nicht, dass dies die Frage beantwortet. Das OP hat die Länge der Treppe richtig berechnet und das weiß er anscheinend

π \neq 4

$\pi \neq 4$ . Er weiß also, dass die Argumentation falsch (oder zumindest widersprüchlich) ist, aber er fragt, welcher Schritt fehlschlägt.

Benutzer185498

Es tut mir leid zu widersprechen, und dieser Kommentar mag dumm sein, aber fast alle Antworten propagieren, wie das falsch ist, nicht warum es falsch ist.

ihnen

Vielleicht interessieren Sie sich für die Taxientfernung

drzaius7

@RossMillikan, wenn jedes Dreieck die Basis 1/n und die Höhe 1/n hat, wäre die Fläche jedes einzelnen Dreiecks nicht (1/2)(1/n)(1/n) und nicht 1/(n^2) wie du angegeben hast?

Ross Millikan

@drzaius7: Ja, es gibt einen Faktor

2

$2$ . Das ändert nichts an dem Argument, dass die Summe konvergiert. Ich werde reparieren. Danke.

pooja somani

mag sein, es hängt davon ab, wie genau wir sind.

Anixx

Aber warum können wir nicht sagen, dass wir im Limit eine nicht reelle Zahl erhalten, die keines von beiden ist

2

$2$ , noch

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ , hat aber Modul

2

$2$ und regularisierter Wert

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ , so wie wir das sagen können

(- 1)^{\infty}

$(-1)^\infty$ Modul hat

1

$1$ aber (Cesaro-) regularisierter Wert

0

$0$ ?

Ross Millikan

@Anixx: Wir nehmen die Grenze von Reals, die begrenzt sind. Der Vollständigkeit halber existiert die Grenze und ist real.

Anixx

Hier stellt sich die Frage, von welcher Grenze wir sprechen. Die Grenze der Längenfolge oder die Länge der Grenze der Kurve. Die beiden existieren, aber unterschiedlich. Aber wir können postulieren, dass die Länge der resultierenden Kurve keine dieser Grenzen ist, sondern eine Grenze im erweiterten Sinne. Wie das zu postulieren

(- 1)^{\infty}

$(-1)^\infty$ ist weder

0

$0$ , noch

1

$1$ .

Anixx

Auch wenn wir über den Grenzwert der Kurve sprechen, verstehen wir ihn normalerweise im Sinne von Koordinaten, aber nicht im Sinne von beispielsweise Tangenten oder zweiten Ableitungen. Dies ist ein Thema der Variationsrechnung, aber man kann in verschiedenen Bedeutungen über den Grenzwert einer Kurve sprechen.

Paracetamol

Mit "beide Fälle" auf welche zwei Fälle haben Sie verwiesen, die beide Bereiche haben, die bewertet werden? @RossMillikan beim ersten Seitenweg bekommen wir tatsächlich die richtige Länge, das ist 2? Wie sagt man was? Simialruly mit kleinen Schritten ein ?

Ross Millikan

@Paracetamol: Beide Fälle sind das Einheitsquadratproblem und der Kreis hier.

Daniel Tampieri

+1 Dies ist auch die Grundlage des berühmten Schwartz-Peano-Gegenbeispiels zur Definition der Oberfläche der

TCL · Answer 2

Dieses Problem veranschaulicht die Tatsache, dass zwei Funktionen sehr nahe beieinander liegen können: $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ für alle $x\in [0,1]$ , aber ihre Ableitungen können immer noch weit voneinander entfernt sein, $|f'(x)-g'(x)|>c$ für einige konstant $c>0$ . In unserem Fall lassen $x=a(t),y=b(t),0\le t\le 1$ Und $x=c(t),y=d(t), 0\le t\le 1$ seien die Parametrisierungen der beiden Kurven. Indem wir die Ecken glätten, können wir davon ausgehen, dass beide glatt sind.

“ (A (T), B (T)) “ \approx “ (C (T), D (T)) “

$\|(a(t),b(t))\|\approx \|(c(t),d(t))\|$ bedeutet nicht

“ (A^{'} (T), B^{'} (T)) “ \approx “ (C^{'} (T), D^{'} (T)) “

$\|(a'(t),b'(t))\|\approx \|(c'(t),d'(t))\|$ Deshalb

\int_{0}^{1} ‖ (a^{'} (t), b^{'} (t)) ‖ d t

$\int_0^1 \|(a'(t),b'(t))\| dt$ muss nicht in der Nähe sein

\int_{0}^{1} ‖ (c^{'} (t), d^{'} (t)) ‖ d t .

$\int_0^1 \|(c'(t),d'(t))\| dt.$ Hier

‖ (x, y) ‖

$\|(x,y)\|$ bezeichnet

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

$\sqrt{x^2+y^2}$ .

Wie ich unten sage, gefällt mir diese Antwort (+1). Allerdings macht mich das "deshalb" am Ende nervös. Die gleichmäßige Konvergenz einer Folge von Funktionen reicht sicherlich aus , um die Konvergenz ihrer Integrale zu implizieren, ist aber keineswegs notwendig. Im Vergleich zu den Konvergenzsätzen im Lebesgue-Stil ist der "Gleichmäßige Konvergenzsatz" fast trivial.
Das Problem ist, sobald Sie die Ecken geglättet haben, können Sie nicht mehr davon ausgehen, dass der Ausdruck |f'(x) - g'(x)| bleibt > 𝜖 für alle x.

Peter L. Clark · Answer 3

Der prägnante Ausdruck für dieses „Paradoxon“ lautet: let $x_n(t)$ eine Folge parametrisierter Kurven sein, die gleichmäßig gegen eine Grenzkurve konvergiert $x(t)$ . Dann muss es nicht sein, dass die Bogenlängen von $x_n(t)$ Annäherung an die Bogenlänge von $x(t)$ .

[ Hinzugefügt, nachdem ich die Antwort von TCL gesehen habe : Es ist auch wahr, dass eine gleichmäßige Konvergenz einer Folge von Funktionen keine Konvergenz ihrer Ableitungen impliziert. Siehe Abschnitt 3 hier für eine Diskussion darüber. Da, wie TCL betont, Bogenlängenelemente unter Verwendung von Ableitungen berechnet werden, kann die Beobachtung von Ableitungen in gewissem Sinne grundlegender sein. Mit anderen Worten, ich glaube, die Antwort von TCL gefällt mir besser als meine.]

Wie Ross Millikan betont, wird dies vertrauter dargestellt, indem die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks durch ein Treppenmuster aus horizontalen und vertikalen Liniensegmenten angenähert wird. Ich erinnere mich noch, dass ich in der Oberstufe in der Oberstufe war und dass mir ein Freund (mit dem ich zuvor keine mathematischen Interaktionen hatte) dies zeigte. Ich erinnere mich definitiv, dass ich dachte, dass es nicht paradox, aber sicherlich überraschend war. (Und ich habe diese Person seitdem mathematisch respektiert, obwohl ich sie seit meiner Teenagerzeit nicht mehr gesehen habe.)

Viel später hinzugefügt : Wenn Sie das Phänomen physikalisch und nicht geometrisch betrachten, scheint mir, dass die Überraschung verschwindet. Angenommen, ich laufe und Sie fahren Motorrad. Es ist möglich, dass Ihre Geschwindigkeit in jedem Moment (sagen wir) 25-mal schneller ist als meine, während Sie einen sehr geringen Abstand zu mir einhalten, z. B. indem Sie sehr kleine, sehr schnelle Kreise um mich herum ziehen.

Ich ziehe Ihre Antwort vor, weil Sie den spezifischen falschen Glauben identifiziert haben, der sofort zum Paradoxon führt.
"Du könntest sehr kleine, sehr schnelle Kreise um mich herum fahren" - das kann auch passieren, wenn du mit einem Hund spazieren gehst, entweder weil der Hund an der Leine ist oder weil du dich weigerst, alles zu werfen, was du in der Hand hältst. Egal wie kurz die Leine ist, der Hund wird einen Weg finden, deutlich mehr Bewegung zu bekommen als Sie.
AFAICT, die in der Antwort verlinkten Notizen sind jetzt Teil von Pete L. Clarks Text Honors Calculus ( Wayback Machine ).

NS · Answer 4

Ich gehe mit diesen Kommentaren wahrscheinlich ein wenig vom Thema ab, also zögern Sie nicht, abzustimmen :)

Meiner Meinung nach unterstreicht diese Art von Beweis, warum es falsch ist, „Calculus“ statt Analysis zu lehren/zu nehmen.

Für die meisten netten Anwendungen der Integration verwenden wir immer den folgenden Ansatz: Nehmen Sie eine Menge / einen Ausdruck, zerlegen Sie sie in viele Teile, identifizieren Sie die Summe vieler Teile als Riemann-Summe, und somit ist unsere Menge die Grenze der Riemann-Summen , also das zugehörige Integral …

Leider gehen wir außer in seriösen Analysis-Kursen kein einziges Mal auf die feinen Details ein: Warum ist die Riemann-Summe eine gute Näherung für unsere Größe, warum geht nämlich der Fehler in unserer Näherung gegen Null?

Die meisten Schüler, die Calculus nehmen, „verstehen“ am Ende viele falsche Ergebnisse, die wir im Allgemeinen nicht widerlegen können: Jede Ableitung ist stetig, jede Annäherung, die gut aussieht, ist gut, …

Um auf dieses Problem zurückzukommen, nicht alle Annäherungen, die gut aussehen, sind auch gut. Wir MÜSSEN immer beweisen, dass die Fehler in unseren Näherungen gegen Null gehen. Und für alle Formeln, die wir in der Analysis „beweisen“, gibt es einen tatsächlichen mathematischen Beweis, der ziemlich technisch ist (und die meisten Nicht-Mathematiker würden sagen, langweilig und dumm, aber ohne solche Beweise kann man dann nicht wirklich verstehen, woher der „Beweis“ kommt das obige Bild ist falsch). Aber ohne die formalen Beweise durchzugehen, kann man nicht wirklich verstehen, warum diese bestimmte Annäherung in diesem Fall funktioniert und, was noch wichtiger ist, warum eine andere Annäherung nicht funktioniert.

Um auf das obige Bild zurückzukommen, ist eine Möglichkeit, es zu verstehen, die folgende: Wir approximieren den Kreis durch eine Folge von Polygonen. Lassen $c_n$ sei die Länge der $n$ tes Polygon und $c$ sei die Länge des Kreises. Bei jedem Schritt ist der Fehler in unserer Annäherung $4-\pi$ , die nicht auf Null geht. Dies bedeutet, dass die Bogenlänge des Kreises möglicherweise nicht die Grenze der Bogenlängen der Polygone ist. Das einzige, was wir schlussfolgern können, ist, dass, wenn alle im Bild erscheinenden Größen und Grenzwerte existieren, der Grenzwert die Bogenlänge des Kreises mit einem Fehler von höchstens dem Limsup der Fehler annähert. Mit anderen Worten, $4 \approx \pi$ mit einem Fehler kleiner oder gleich $4-\pi$ . Hm, was ist daran falsch?

Dieses Rätsel illustriert gewissermaßen den Bogen der Mathematik von Archimedes bis Newton. Archimedes (der diesen Fehler nicht gemacht hätte) kannte die Annäherung durch winzige Inkremente, aber er hatte nicht die formalen Theoreme, die uns vor Ärger bewahren sollten. Das war das Programm, das Newton und Leibnetz (oder Leibnez?) fertiggestellt haben.
Wikipedia-Links zur Erläuterung einiger hier erwähnter Konzepte: Analysis und (numerische) Analyse (Klassen). Riemannsche Summe . limsup (Obergrenze) .
NS spricht nicht über numerische Analyse; er bezieht sich auf en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis , das die Grundlagen der Analysis liefert.
Es mag unter Studenten der Analysis (und vielleicht auch unter Lehrern) eine Tendenz geben, nur die niedrigere Riemann-Summe zu berücksichtigen; das heißt, nur Rechtecke zu betrachten, die unter einer Kurve eingeschrieben sind. Wenn Sie sich jedoch sowohl die obere als auch die untere Riemann-Summe ansehen und beweisen können, dass sie zum gleichen Wert konvergieren, was ist daran falsch?
@ DavidK Nichts. Aber in diesem Bild ist das KEINE Riemann-Summe :)
Natürlich ist es nicht. Aber diese Antwort erwähnt Riemann-Summen. Wenn ich dieses Thema als Beispiel verwende, frage ich mich, ob es ein nützliches Maß an Strenge gibt, das in einigen „Kalkül“-Kursen oft fehlt, das erreicht werden kann, ohne den „Kalkül“-Kurs in einen ausgewachsenen echten Analysekurs zu verwandeln.
@DavidK Ja und nein ... Ich denke, das Hauptproblem besteht darin, dass die meisten Schüler und sogar einige Lehrer nicht wirklich alle Feinheiten verstehen und alles, was schief gehen könnte. Meistens sehen sie nur so aus, wie Sie gesagt haben, dass die linken Punkte im Vergleich zu den rechten Punkten stehen, anstatt die oberen / unteren (Darboux-Summen) zu betrachten. Außerdem, und das ist Teil des Problems, kenne ich keinen einfachen Weg, um zu beweisen, dass die Funktion Riemann-integrierbar ist, wenn die obere minus untere Darboux-Summe gegen 0 konvergiert. Zu guter Letzt, und das ist ein weiteres subtiles Problem,
zu zeigen, dass reguläre Partitionen ausreichend sind, ist höchst nicht trivial :) Um es einfach auszudrücken, ja, wir könnten ihnen zeigen, wie man mit korrekten Riemann-Summen in Calculus berechnet, aber wir konnten ihnen nicht erklären, warum es funktioniert ... Aus meiner Erfahrung , haben die meisten Schüler, die Calculus nehmen, Probleme beim Rechnen $\int_0^3 x^2+1 dx$ Wenn Sie linke Endpunkte verwenden, stellen Sie sich vor, Sie zu bitten, etwas zu tun, wo Darboux-Summen wirklich notwendig sind.
Das Problem ist, dass wir zunächst davon ausgehen, dass π < 4 ist oder nicht. Wenn wir dies nicht tun, können wir auch nicht sagen, dass der Fehler eine Konstante ungleich Null in Richtung unendlicher Iteration ist. Aber wenn wir annehmen, dass π < 4, so ist der Beweis selbst noch ein Widerspruch...
@NS Ich stimme dem Geist Ihrer Antwort zu, aber ich glaube nicht, dass es die Schlussfolgerung stützt, dass es falsch ist, "Kalkül" statt "Analyse" zu unterrichten. Auf diese Frage gibt es eine vollkommen gute einzeilige Antwort, die jeder Analysisstudent geben können sollte, die ich jetzt als separate Antwort veröffentlichen werde . Das Problem ist nicht Kalkül versus Analyse, sondern Denken (in diesem Fall das Definieren der Menge, die Sie zu berechnen versuchen) versus Nicht-Denken.
@sasquires Ich stimme wirklich nicht zu, dass jeder Kalkülstudent in der Lage sein sollte, dies herauszufinden, es sei denn, Ihre Kalkülstudenten sind wirklich schlau.
@NS Vielleicht haben Sie Recht und die Kalkülstudenten im ersten Jahr würden dies nicht richtig beantworten. Aber mein Punkt ist im Grunde, dass es wirklich einfach ist, das Paradoxon mit der Sprache der Infinitesimalrechnung zu widerlegen. Sie müssen nur wissen, wie man die Bogenlänge einer differenzierbaren Kurve definiert (d. h. $\int_C \sqrt{ dx^2 + dy^2}$ ), was sie im ersten Jahr in Analysis lehren. Aber ich möchte noch einmal wiederholen, dass ich auch Ihren Standpunkt zu schätzen weiß, nämlich dass das Erlernen des Schreibens einer strengen Fehlergrenze unerlässlich ist, um dumme Fehler zu vermeiden.

Dan Christensen · Answer 5

Urkomisch! Natürlich wird der Umfang nicht durch die Summe der Längen der wie gezeigt konstruierten Linien angenähert, sondern durch die Summe der Hypotenusen jedes der rechtwinkligen Dreiecke, die um den Rand des Kreises gebildet werden (wodurch ein Vieleck mit Scheitelpunkten auf den gebildet wird Kreis).

phv3773 · Answer 6

phv3773

Was ist daran falsch?

Grundsätzlich, dass Sie ohne Definition der Bogenlänge eingesprungen sind.

Jose_X

Implizit ist dies die Definition von jemandem zur Definition der Länge eines Kreises, und wir können vorhandenes Wissen verwenden, um dem entgegenzuwirken (z. B. akzeptieren sie implizit die Bedeutung der Länge von geraden Linien). Außerdem muss eine mathematische Definition mit keiner Realität übereinstimmen.

Eric Naslund · Answer 7

Eric Naslund

Dies ist einfach ein weiteres Beispiel dafür, warum die „Grenze der Summe“ nicht die „Summe der Grenze“ ist.

(Längen von Kurven sind eine Teilmenge von Summen/Integralen, die meiner Meinung nach wirklich dasselbe sind. Wenn Sie möchten, ist in diesem Fall "die Grenze der Längen der Kurven" nicht die "Länge der Grenzkurve")

Muhammad Alkaruri

Ist der Kreis eine Grenzkurve des gezackten Quadrats?

ShreevatsaR

@MuhammadAlkarouri: Ja, das ist es. (Formal: parametrisieren die

n

$n$ th gezacktes Quadrat so dass als

t

$t$ variiert über

[0, 1]

$[0, 1]$ , wir haben

(x_{n} (t), y_{n} (t))

$(x_n(t), y_n(t))$ das gezackte Quadrat genau überqueren. Das ist, was eine "Kurve" bedeutet. Dann in der Grenze als

n \to \infty

$n\to\infty$ , wenn wir lassen

x (t) = lim_{n \to \infty} x_{n} (t)

$x(t)=\lim_{n\to\infty}x_n(t)$ Und

y (t) = lim_{n \to \infty} y_{n} (t)

$y(t)=\lim_{n\to\infty}y_n(t)$ Wir bekommen eine Kurve

(x (t), y (t))

$(x(t),y(t))$ die den Kreis als durchquert

t

$t$ geht von

0

$0$ Zu

1

$1$ . Mit anderen Worten: Die Punkte auf dem gezackten Quadrat nähern sich zwar den Punkten auf dem Kreis, aber die Längen der Kurven bleiben

4

$4$ und nähern Sie sich nicht der Länge

π

$\pi$ der Grenzkurve.)

AnandJ

Dies sollte die akzeptierte Antwort sein. Es gibt den mathematischen Grund, warum dies nicht möglich ist. Andere lange oder „intuitive“ Erklärungen mit Bildern reichen nicht aus. Sie verstärken nur den Lärm.

Benutzer7263 · Answer 8

Benutzer7263

Richtige Antwort: Daran ist nichts auszusetzen, solange Ihr Raum mit einer Manhattan-Metrik definiert ist. Der normale euklidische Raum wird unter Verwendung einer euklidischen Metrik definiert.

cnd

Unter Verwendung der Manhattan-Metrik ist l = 2piR falsch.

Qiaochu Yuan

Dies ist eine Ausweichantwort: Sie ändern die Definition von

π

$\pi$ wenn du das tust. Das ist nicht im Sinne der Frage und erklärt nicht, warum der in der Frage beschriebene Begrenzungsprozess nicht zu der erwarteten Antwort konvergiert.

Zach466920

+1 Das scheint es gut zu erklären. Zwei verschiedene Metriken ergeben zwei verschiedene Zahlen. Alles andere geht davon aus, dass Bogenlängen durch infinitesimale Hypotenusen definiert sind, worum es in der Frage eindeutig geht. Die obigen sind also tautologisch.

Zach466920

Die Grundlage dieser Frage ist, warum Bogenlängen so definiert sind, wie sie sind. Das Obige diskutiert dies unter der Annahme, dass Euklidisch der Raum ist. Das wissen wir natürlich

π

$\pi$ , euklidisch, anstatt

4

$4$ , Manhattan, ist im Nachhinein nützlicher, aber wenn wir in Manhattan leben würden, könnten die Umfänge von 4 tatsächlich mit der Realität übereinstimmen! ;)

Kaleb Stanford

Ich glaube nicht, dass es eine Ausrede ist. Ich denke, es ergänzt die anderen Antworten gut, indem es darauf hinweist, dass es relativ zu der von Ihnen verwendeten Metrik ist, ob ein Begrenzungsprozess "funktioniert". Dies führt sowohl zu einer Antwort auf die ursprüngliche Frage (der Begrenzungsprozess funktioniert nicht im Fall einer euklidischen Metrik) als auch zu einer interessanten Randnotiz (das bedeutet nicht, dass ein solcher Begrenzungsprozess für alle Metriken ungültig ist).

Jose_X · Answer 9

Intuitive Antwort (für diejenigen, die die eher analytischen Antworten nicht verstehen)

Die Antwort ist einfach. Wir müssen nur hineinzoomen.

Wir können bei niedrigem Zoom sehen, wie sich die (violette) Treppe an den Kreis anschmiegt, aber ein höherer Zoom zeigt, dass sie immer eine grobe Annäherung an die schrumpfenden übereinstimmenden Segmente des Kreises bleibt, außer nahe 0, π/2, π und 3π/2. [Im Gegensatz dazu ist das (grün) eingeschriebene Polygon eine zunehmend gute Annäherung und in allen Winkeln gleich gut.]
-- siehe "Einfache geometrische Erklärung" unten für eine längere, aber immer noch einfache Erklärung. Die Updates unten fügen mehr Einblick hinzu, wenn die einfache geometrische Erklärung für Sie nicht gut genug ist. [Es müssen mehr Bilder hinzugefügt werden, um einige Aspekte besser zu verdeutlichen. Letztendlich führt dies möglicherweise zu etwas, das sich einem formalen Beweis nähert.]

Der Javascript-Code, der verwendet wird, um die Bilderrahmen des GIFs zu erstellen, folgt unten. Der Code kann als Ausgangspunkt verwendet werden, um Ihr eigenes verbessertes GIF/Animation oder einfach nur einen einzelnen PNG-Rahmen zu erstellen. [kann später versuchen, den js-Code zu bereinigen und die Laufzeit effizienter zu gestalten]. Dann klickte ich mich durch jedes Bild, erfasste sorgfältig den gleichen umrandeten Bereich für jedes Bild und speicherte es in einer Datei. Ich habe sie mit http://gifcreator.me/ in ein GIF integriert (die meisten Frames hatten eine Verzögerung von 250 ms, aber das erste und das letzte jeder der 6 Sequenzen hatten 750 ms). Ich nahm dieses letzte GIF und lud es auf stackexchange https://meta.stackexchange.com/questions/75491/how-to-upload-an-image-to-a-post hoch

Falls die obige sehr kurze Erklärung + Bild nicht ausreicht, hier ist eine längere erneute Erklärung (mit Bild):

Einfache geometrische Erklärung:

[Um eine einfache Erklärung zu erhalten, müssen wir einen einfachen Ansatz haben. Ein Kreis ist eine einfache, leicht herzustellende Form, und dieses Problem wurde vor Ewigkeiten mit vereinfachten Argumenten untersucht.]

Die gestellte Frage ist, warum wir die Länge eines Kreises [PI = die Länge eines Kreises mit Durchmesser 1] nicht annähern können, indem wir die Länge eines "Treppenwegs" messen, der den Kreis eng umschließt?

Die Antwort ist einfach:

Wenn wir darauf abzielen, die Länge eines nahezu geraden Objekts von Punkt A nach Punkt B zu finden, möchten wir so nah wie möglich an einem geraden Pfad von A nach B messen (siehe grüne/rote Quasi-Überlappung). Wir werden nicht die richtige Antwort erhalten, wenn wir stattdessen, wie beim obigen Treppenaufgang (lila), von A zu einem weit entfernten Punkt und dann von diesem Punkt zu B messen . Das ist sehr intuitiv.

Um nun die Länge eines Kreises anzunähern, ersetzen wir den gesamten Kreis durch viele kleine gerade Pfade, die genau der Form des Kreises (grün) folgen. Wir verwenden ein einzelnes direktes Verbindungsstück (grün) zwischen jeweils zwei benachbarten Punkten A und B (A und B, nicht abgebildet, wären dort, wo benachbarte graue Linien den roten Kreis schneiden), anstatt den ungenauen 2-teiligen (lila) Schritt zu verwenden. Beachten Sie einen Schlüsselpunkt, der dies zum Funktionieren bringt: Jeder kleine Kreisbogen, wie jeder kleine Abschnitt einer einfachen Kurve, wird von einem ähnlich großen Liniensegment fast nicht zu unterscheiden sein, wenn diese kurz genug sind.

[Rekapitulation:] Also, in jedem Winkel um den Kreis, für großes N, ein kleines grünes Liniensegment ≈ kleiner roter Bogen. Währenddessen sind um die meisten Kreise 2 rechtwinklige violette Liniensegmente eindeutig > passend zum roten Bogen, unabhängig von N. Deshalb kommt die grüne Näherung sehr nahe an π heran, während die violette Näherung bei 4 weit entfernt ist. [Anmerkung: grünes π = N sin (pi/N) und lässt sich leicht aus der Grundgeometrie durch Summieren von 2*N Stücken ableiten, die gegenüberliegende radiale Dreiecke mit Hypotnuse 0,5 und Mittelpunktswinkeln 2π/(2N) sind.]

[Abschließend entschuldige ich mich, wenn Sie Grün nicht von Rot unterscheiden können. Ich kann die Farben später ändern, fand diese aber praktisch und im Allgemeinen leicht zu unterscheiden.]

    <html>
    <body>
    <table style="border:3px solid black;"><tbody>
    <tr><td colspan="2"><center><b><font size="4"><span style="color:red;">&#960; = 3.141592...</span></font></b></center></td></tr>
    <tr><td><center><b><span id="sp1" style="color:purple;">N = 4</span></b></center></td><td style="margin-left:50px;"><center><b><span id="sp2" style="color:purple;">&#960; = 4</span></b></center></td></tr>
    <tr><td><center><b><span id="sp3" style="color:green;">N = 4</span></b></center></td><td style="margin-left:50px;"><center><b><span id="sp4" style="color:green;">&#960; = 3.1111...</span></b></center></td></tr>
    <tr><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp1" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">1x</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp1b" style="background-color:; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">hugs</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp1c" style="background-color:; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">circle</span></center>
    <svg id="svg1" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp2" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">5x</span></center>
    <svg id="svg2" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td></tr>
    <tr style="margin:20px; border:20px solid blue;"><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">20x</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3b" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">bad</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3c" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">approx</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3dd" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">ok</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3d" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">good</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3e" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">approx</span></center>
    <svg id="svg3" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">100x</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4e" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:25; border:0px; padding:0px; z-index:1;">a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup></span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4f" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:25; border:0px; padding:0px; z-index:1;">&#8775; c<sup>2</sup></span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4b" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">circle</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4c" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">looks</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4d" style="background-color:white; position:absolute; top:76px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">straight</span></center>
    <svg id="svg4" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td></tr>
    </tbody></table>
    <br>
    <br>
    <input type="button" onclick="doprev();">Prev</input>
    <input type="button" onclick="donext();" style="margin-left:30;">Next</input>


    <script>
    alert('js syntax ok');
    function xxx(iter,first,second,third,fourth) {
        xxxcore(iter,"svg1",first,second,third,fourth,1,document.getElementById('ssp1') );
        xxxcore(iter,"svg2",first,second,third,fourth,5,document.getElementById('ssp2') );
        xxxcore(iter,"svg3",first,second,third,fourth,20,document.getElementById('ssp3') );
        xxxcore(iter,"svg4",first,second,third,fourth,80,document.getElementById('ssp4') );
    }

    function xxxcore(iter,svgid,first,second,third,fourth,mult,ssp) {

    var i,j,ktf;
    //var iter=3;
    var alpha1=Math.PI*2/40;
    var alpha2=Math.PI*2*3/16+0.000;
    var steps=Math.pow(2,(iter+2));  //(iter+1)*4;
    var delta=Math.PI*2/steps;
    //var first=true;
    //var second=true;
    //var third=true;
    var cx0=100;
    var cy0=100;
    var r0=50;
    var cx=cx0+(mult-1)*r0*Math.cos(alpha2)-30 ; //351;
    var cy=cy0-(mult-1)*r0*Math.sin(alpha2)-10 ;  //-401;
    var r=r0*mult;
    var geostr1="";
    if (first!=0)
        geostr1+="<circle cx='"+cx+"' cy='"+cy+"'  r='"+r+"' stroke-width='1' stroke='red' fill='transparent'/>";
    for (i=0,j=(Math.PI*2/steps); i<steps; i++) {
        ktf=i<steps/4||i>=2*steps/4&&i<3*steps/4;
      if (second!=0) {
    //second=1;
        if (second!=0&&i*j==alpha2) {  //floating variation? 
            geostr1+="<path d='M "+cx+" "+cy+" L "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+"' stroke-width='2' stroke='blue' fill='transparent'/>"
        } else if (0&&     (i-1)*j==alpha2) {
            geostr1+="<path d='M "+cx+" "+cy+" L "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+"' stroke-width='1' stroke='blue' fill='transparent'/>"
        } else if (1||0) {
            geostr1+="<path d='M "+cx+" "+cy+" L "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+"' stroke-width='1' stroke='gray' fill='transparent'/>"
        }
      }
      if (third!=0) {
        geostr1+="<path d='M "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+" L "+(cx-r*Math.cos((i+1)*j))+" "+(cy+r*Math.sin((i+1)*j))+"' stroke-width='1' stroke='green' fill='transparent'/>";
      }
      if (fourth!=0) {
        geostr1+="<path d='M "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+" L "+(ktf?cx-r*Math.cos(i*j):cx-r*Math.cos((i+1)*j))+" "+(ktf?cy+r*Math.sin((i+1)*j):cy+r*Math.sin(i*j))+" L "+(cx-r*Math.cos((i+1)*j))+" "+(cy+r*Math.sin((i+1)*j))+"' stroke-width='1' stroke='purple' fill='transparent'/>";
      }
    }   //also stroke-opacity  fill-opacity
    document.getElementById("sp1").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("sp2").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("sp3").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("sp4").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp1b").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp1c").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3b").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3c").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3dd").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3d").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3e").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp4b").style.visibility="visible";
    document.getElementById("ssp4c").style.visibility="visible";
    document.getElementById("ssp4d").style.visibility="visible";
    document.getElementById("ssp4e").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp4f").style.visibility="hidden";
    var pistr=new Number(steps*Math.sin(Math.PI/steps)).toPrecision(7);
    if (third!=0) {
        document.getElementById("sp3").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp4").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp3").innerHTML="N = "+steps;
        document.getElementById("sp4").innerHTML="&#960; = "+pistr+"...";
       if (fourth==0) {
        if (steps==8) {
            document.getElementById("ssp3dd").style.visibility="visible";
            document.getElementById("ssp3e").style.visibility="visible";
        }
        if (steps>=16) {
            document.getElementById("ssp3d").style.visibility="visible";
            document.getElementById("ssp3e").style.visibility="visible";
        }
       }
    }
    if (fourth!=0) {
        document.getElementById("sp1").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp2").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp1").innerHTML="N = "+steps;
        document.getElementById("sp2").innerHTML="&#960; = 4";  //&pi;
       if (third==0) {
        if (steps>=32) {
            document.getElementById("ssp1b").style.visibility="visible";
            document.getElementById("ssp1c").style.visibility="visible";
        }
    //    if (steps>=256) {  //don't bother adding a,b,c labels and just keep invisible.. else fix "circle looks straight" to "circle (hypot) looks straight" but 
                             // keep in mind that c is not c but approx straight. etc. so avoid imprecision and just use visual pic.
    //        document.getElementById("ssp4e").style.visibility="visible";
    //        document.getElementById("ssp4f").style.visibility="visible";
    //    }
        document.getElementById("ssp3b").style.visibility="visible";
        document.getElementById("ssp3c").style.visibility="visible";
       }
    }
    document.getElementById(svgid).innerHTML=geostr1;
    ssp.innerHTML=mult+"x"

    } //end func


    var ii=0;
    var jj=0;

    sz=5; //of each line below
    var xxxarr=[
    0, 1,0,0,0,  //hold a bit
    0, 1,1,0,1,
    1, 1,1,0,1,
    2, 1,1,0,1,
    3, 1,1,0,1,
    4, 1,1,0,1,
    5, 1,1,0,1,
    6, 1,1,0,1,
    7, 1,1,0,1,
    //0, 1,0,0,1,
    //1, 1,0,0,1,
    //2, 1,0,0,1,
    //3, 1,0,0,1,
    //4, 1,0,0,1,
    //5, 1,0,0,1,
    //6, 1,0,0,1,
    //7, 1,0,0,1,
    0, 1,1,1,0,
    1, 1,1,1,0,
    2, 1,1,1,0,
    3, 1,1,1,0,
    4, 1,1,1,0,
    5, 1,1,1,0,
    6, 1,1,1,0,
    7, 1,1,1,0,
    0, 1,1,1,1,
    1, 1,1,1,1,
    2, 1,1,1,1,
    3, 1,1,1,1,
    4, 1,1,1,1,
    5, 1,1,1,1,
    6, 1,1,1,1,
    7, 1,1,1,1,
    0, 1,0,0,1,
    1, 1,0,0,1,
    2, 1,0,0,1,
    3, 1,0,0,1,
    4, 1,0,0,1,
    5, 1,0,0,1,
    6, 1,0,0,1,
    7, 1,0,0,1,
    //0, 1,0,0,1,
    //1, 1,0,0,1,
    //2, 1,0,0,1,
    //3, 1,0,0,1,
    //4, 1,0,0,1,
    //5, 1,0,0,1,
    //6, 1,0,0,1,
    //7, 1,0,0,1,
    0, 1,0,1,0,
    1, 1,0,1,0,
    2, 1,0,1,0,
    3, 1,0,1,0,
    4, 1,0,1,0,
    5, 1,0,1,0,
    6, 1,0,1,0,
    7, 1,0,1,0,
    0, 1,0,1,1,
    1, 1,0,1,1,
    2, 1,0,1,1,
    3, 1,0,1,1,
    4, 1,0,1,1,
    5, 1,0,1,1,
    6, 1,0,1,1,
    7, 1,0,1,1,
    ]
    var xxxstr="";
    //for (i=0; i<1; i++) {
        //keep in sync with below
        xxxstr+="xxx(";
        for (j=0; j<sz-1; j++) {
    //        xxx(xxxarr[1*ii+jj]);
            xxxstr+=xxxarr[j]+",";
        }
        xxxstr+=xxxarr[sz-1]+");";
        eval (xxxstr);
    //}
    //alert(xxxstr);


    function donext () {
        xxxstr="";
        if (++ii==xxxarr.length/sz)
            ii=0;
        //common with below
        xxxstr+="xxx(";
        for (j=0; j<sz-1; j++) {
            xxxstr+=xxxarr[ii*sz+j]+",";
        }
        xxxstr+=xxxarr[ii*sz+sz-1]+");";
        eval (xxxstr);
    }

    function doprev() {
        xxxstr="";
        if (--ii<0)
            ii=xxxarr.length/sz-1;
        //same as above;
        xxxstr+="xxx(";
        for (j=0; j<sz-1; j++) {
            xxxstr+=xxxarr[ii*sz+j]+",";
        }
        xxxstr+=xxxarr[ii*sz+sz-1]+");";
        eval (xxxstr); //alert(xxxstr)
    }

    alert('initialization done');

    </script>
    </body>
    </html>

Aktualisierung 1:

Nachdem wir das Bild gesehen haben (z. B. Grün/Rot-Überlappung, 80-facher Zoom für großes N), fragen wir uns vielleicht immer noch (und akzeptieren es nicht direkt), warum die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks nicht gleich der Hypotenuse sind, warum nicht a+b= C?

Nun, mit der grundlegenden euklidischen Geometrie können wir den Satz des Pythagoras beweisen; Wir fragen also, wenn a ² +b ² =c ² gegeben ist , warum ist a+b=c nicht? Nun, ein einfaches Gegenbeispiel von 3,4,5 zeigt, dass Pythagoras gilt, wo die andere einfachere Gleichung nicht gilt (3+4≠5), also ist a+b=c im Allgemeinen nicht wahr. Aus diesem Grund können wir nicht auf PI=4 schließen.

Aktualisierung 2:

Das Hauptproblem bei den rechtwinkligen Dreiecken ist, egal wie klein und wie viele sie werden, diejenigen innerhalb einer bestimmten Region (in der Nähe eines bestimmten Winkels) , selbst wenn Sie zu unendlich vielen von ihnen gehen und die Längen der ( lila) Beine von jedem werden einen erheblichen Bruchteil mehr sein, als wenn Sie den geraden (grünen) Hypotenuse-Pfad nehmen. Dieser Bruchteil geht bis zu einer bestimmten Zahl (z. B. 30 % bis 50 % mehr in der Nähe des +-45-Grad-Bereichs als Untergrenze), die eindeutig nicht Null ist . Dies gilt für jedes einzelne Dreieck in dieser Region, egal wie viele Sie machen, also wird es aus allen herausgerechnet ( Verteilungseigenschaft ). 4 ist in Ordnung eine obere Grenze.Jede Form, die Sie verwenden (eine Säge/Treppe), innerhalb oder außerhalb des Kreises, wird zu einer höheren Zahl konvergieren, solange es sich nicht um eine gerade Wegstrecke handelt, wenn Sie sich dem Kreis immer näher kommen . Die Entfernung ist definiert als der kleinste Pfad von Punkt A nach B. Jede andere Pfadform, die sich ihr im Wert nicht nähert (unter Epsilon für alle n>N0), sondern stattdessen über einer gewissen Untergrenze bleibt Differenz zu diesem geraden Linienpfad (innerhalb einiger " Weitwinkelbereich des Kreises) kann der Angabe von π nicht beliebig nahe kommen. .. diese Antwort könnte ein anderes Bild verwenden, das Längenberechnungen zeigt und wie deutlich alle "rechtwinkligen Dreiecke" innerhalb eines "weiten" Kreisbereichs (außer eng bei N, E, S, W) zusätzliche Länge hinzufügen. Ein gegebener Kreisbereich und eine gegebene Pfaddefinition können eine untere Grenze größer als null haben, die aus diesem Bereich herausgezupft (herausverteilt) wird. Ein deutlicher Wert höher als null höher als pi in einem "weiten" Kreisbereich ist ein sicherer Weg, sich π nicht zu nähern.

Die Analyse geht weiter, als es die euklidische Geo jemals könnte ... aber Sie kommen immer noch auf die gleiche grundlegende Sache

Um π zu erhalten, verwenden Sie einen geraden Linienpfad, der die vielen Punkte auf dem Kreis verbindet. Winzige Kreisbögen werden gerade und nähern sich diesem Pfad ("Differenz" unten nur durch 0 begrenzt). Jeder andere Polygonzug, der sich eindeutig nicht einer geraden Linie nähert ("Differenz" unten durch eine Zahl größer als Null begrenzt), nähert sich daher nicht dem Kreis. Das Problem ist, dass es keine wirkliche Definition der Länge einer Kurve gibt, die wir durchlaufen. Das euklidische Geom definiert die Länge lockerer. Es gibt bestimmte Werte für einige Formen, einschließlich Linien, Kreise usw. Diese entsprechen dem physikalischen Weltbegriff der Länge. Die Analyse (und es gibt verschiedene Variationen, von denen einige sogar noch weiter gehen) geht weiter als Euclidian Geo und definiert allgemeiner eine Abstandsdefinition für beliebige Kurven. Um die Verwendung dieser Tools zu beweisen, Sie müssen zunächst genau wissen, wie Länge dort definiert ist, und dann das formale Argument darauf aufbauen. Mit der euklidischen (intuitiven) Sichtweise und ohne förmlicheres Tauchen sind Sie auf eine bestimmte Menge an Handbewegungen beschränkt. Sie müssen die Länge einer Kurve wirklich genau definieren, wenn Sie ein präzises Argument wollen.

Ich sagte, der Code ist ein Entwurf (aber funktioniert). Das ist eine Warnung, die ich aufbewahre, um andere Fehler zu erkennen, die ich machen könnte, wenn ich das Javascript codiere. Einige Arten von Fehlern führen dazu, dass diese Warnung nicht angezeigt wird (ich habe eine andere am Anfang von js, die Syntaxprobleme sofort erkennt).
alert('Initialisierung abgeschlossen'); ? Komm schon, du hast wirklich 3 Antworten auf dieselbe Frage gepostet?
Jeder ist anders. Ich habe versucht, einen Einblick zu geben, der in anderen Antworten nicht leicht zu erkennen ist, insbesondere wenn Sie keinen analytischen Hintergrund haben. Letzteres fügt den Bildern auch Bild/Animation und Code hinzu. Dies hilft zu verdeutlichen, dass Kreisbögen nicht mehr von geraden Linien zu unterscheiden sind, was es viel einfacher macht zu erkennen, dass der Bogen ungefähr eine Hypotenuse ist, also nicht ungefähr die Summe der Längen der anderen 2 Beine sein kann. Aus diesem Grund nähert sich der eingeschriebene Poly-Umfang der Grenze (Nsin(pi/N)), während die Treppe praktisch überall immer einen signifikanten Bruchteil entfernt ist, egal wie klein die Stücke sind.
Ich habe dich missverstanden. Nein, ich habe hier eine Antwort. Ich habe die einfache geometrische Erklärung getrennt, um eine sehr kurze Antwort oben zu halten, da dies für den Leser ausreichen könnte. [Ja, ich war ein bisschen süchtig nach dieser Frage … weshalb dies eigentlich meine dritte eindeutige Antwort ist.]

Steve Byrnes · Answer 10

Das grundlegende Konzept hier ist Diskontinuität . Die Bogenlänge einer Kurve ist eine diskontinuierliche Funktion ihres Pfades in dem Sinne, dass zwei Pfade beliebig nahe beieinander liegen können (im visuellen oder Punkt-für-Punkt-Sinne), aber dramatisch unterschiedliche Bogenlängen haben.

Sie können jede diskontinuierliche Funktion nehmen und ein dummes scheinbares Paradoxon im gleichen Stil erstellen .

Das Vorzeichen einer Zahl ist unstetig. Hier ist ein dummes scheinbares Paradoxon:

1 ist positiv. 0,1 ist positiv 0,01 ist positiv. Wiederholen Sie dies bis ins Unendliche und Sie schließen daraus, dass 0 positiv ist! OMG!

Die Abbildung "ist rational" ist diskontinuierlich. Hier ist ein dummes scheinbares Paradoxon:

3.14 ist rational. 3.141 ist rational. 3,1415 ist rational. Wiederholen Sie dies bis ins Unendliche und Sie schließen daraus, dass Pi rational ist! OMG!

Die Abbildung "ist gleich" ist diskontinuierlich. Hier ist ein dummes scheinbares Paradoxon:

Wenn ich 50 % des Weges zu meinem Ziel geschafft habe, bin ich noch nicht da. Wenn ich zu 75% dort bin, bin ich noch nicht da. Wenn ich zu 87,5 % dort bin, bin ich noch nicht da. Wiederholen Sie dies bis ins Unendliche und Sie kommen zu dem Schluss, dass ich niemals dorthin gelangen werde! OMG!

(Ist das nicht Zenos Paradoxon oder so?)

Mit dieser Vorlage können Sie so viele dumme scheinbare Paradoxien erstellen, wie Sie möchten. Werde kreativ! Beeindrucken Sie Ihre Freunde! :-)

Ich bin mir nicht sicher, warum dies abgelehnt wurde. Diese Antwort ist besser als einige der Antworten mit über 50 Punkten.
Nein, aus dem ersten Satz, den Sie kursiv gesetzt haben, können Sie nicht schließen, dass 0 positiv ist. Sie erreichen in dieser Sequenz nie wirklich 0. Dasselbe gilt für deinen zweiten Satz. Sie erreichen nie pi, Sie haben nur niedrigere rationale Annäherungen bei jedem Schritt. Keine der Schlussfolgerungen folgt und somit sind dies keine Paradoxien. Der letzte Satz in Kursivschrift impliziert jedoch, dass Sie niemals dorthin gelangen werden. Das ist ein Paradoxon.
@DougSpoonwood Sie können, wenn Sie die gleiche Argumentation annehmen, die das OP annimmt, was im Grunde genommen so ist $\lim f(x_n) = f(\lim x_n)$ (dh Kontinuität).
Etwas genauer: Die Weglänge als Funktion von, sagen wir, $C^0$ Wege ausgestattet mit $C^0$ -Norm zu $[0,\infty]$ mit der üblichen Topologie ist diskontinuierlich. Aber wenn du dich änderst $C^0$ zum Beispiel zu $C^1$ und rüste es mit dem aus $C^1$ -norm, dann wird die Weglänge zu einer stetigen Funktion 😄.

Emanuel Paolini · Answer 11

Das Bild zeigt eine Folge von Kurven $\gamma_n$ die sich (in sogenanntem "gleichmäßigen Abstand") dem Umfang eines Kreises nähern $\gamma$ . Dann sagt das Bild, dass die Länge dieser Kurven immer gleich ist: $\ell (\gamma_n) = 4$ . Wenn die Funktion $\ell$ Wäre eine stetige Funktion, würden Sie das angegebene Ergebnis erhalten:

4 = lim_{N \to \infty} ℓ (γ_{N}) = ℓ (γ) = π .

$4 = \lim_{n\to \infty} \ell(\gamma_n) = \ell(\gamma) = \pi.$

Bedauerlicherweise $\ell$ ist keine stetige Funktion, und dieses Beispiel ist ein Beweis dafür.

(hinzugefügt) Wie von @knedlsepp in den Kommentaren vorgeschlagen: das Funktionale $\ell$ ist stetig bzgl $C^1$ Konvergenz (d.h. wann immer beide $\gamma_k$ Und $\gamma'_k$ konvergieren zu $\gamma$ Und $\gamma'$ ). In diesem Fall ist es leicht zu sehen, dass die Kurven $\gamma_k$ nicht zusammenlaufen $C^1$ weil die Ableitungen $\gamma'_k$ sind immer entweder horizontale oder vertikale Vektoren, während die Grenzkurve $\gamma$ kann jede Zwischensteigung haben.

..., Aber $\ell|_{\mathcal{C}^1}$ Ist. Also wenn die Kurven $\gamma_n$ waren über zu nähern $\gamma_n \xrightarrow{\mathcal{C}^1} \gamma$ , Dann $\lim_{n \to \infty} \ell(\gamma_n) = \ell(\gamma)$ wäre wahr.

Mario Stefanutti · Answer 12

(nicht streng) Wenn Sie den Vorgang millionenfach wiederholen, "scheint" es (visuell), dass sich der Umfang in der Länge dem Umfang annähert, aber wenn Sie das Bild eines einzelnen "Zahns" auf den vollen Bildschirm vergrößern, werden Sie einen großen bemerken Unterschied zu den orthogonalen Segmenten und dem Kreisbogen. Egal wie oft Sie den Vorgang wiederholen, dieser Unterschied wird nie verblassen.

HINZUGEFÜGT: Ein visuelles Beispiel dafür, was ich meinte, ist das Falten eines Seils. Wenn Sie sich vorstellen, dass das Seil keine Dicke hat, können Sie es so oft falten, dass Sie sich zu einer Spitze neigen können (Nulllänge?). Wenn Sie es aufklappen, kehrt es in seine ursprüngliche Form zurück. Im Beispiel hat der Umfang immer die Gesamtlänge = 4, aber er verschmilzt nur scheinbar mit dem Umfang.

Andrew D. Hwang · Answer 13

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Es gibt eine Reihe guter Antworten auf diese grundlegende Frage, aber keine erwähnt die übliche Definition der Bogenlänge: Wenn $\gamma:[a, b] \to \Reals^{n}$ ist ein kontinuierlicher Pfad, die Bogenlänge von $\gamma$ ist das Supremum, übernommen über alle Partitionen $(t_{i})_{i=0}^{n}$ von $[a, b]$ , von

\begin{matrix} (1) & \sum_{ich = 1}^{N} “ γ (T_{ich}) - γ (T_{ich - 1}) “ . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n} \|\gamma(t_{i}) - \gamma(t_{i-1})\|. \tag{1}$ Dieses Supremum existiert immer als positive erweiterte reelle Zahl. Wenn

γ

$\gamma$ ist stückweise stetig differenzierbar, die Bogenlänge ist endlich und gegeben durch

\int_{A}^{B} “ γ^{'} (T) “ D T .

$\int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\|\, dt.$ (Das Integral wird durch Partitionieren berechnet

[a, b]

$[a, b]$ in endlich viele Intervalle auf denen

γ^{'}

$\gamma'$ ist kontinuierlich und summiert die Beiträge.)

Hier kann der Kreis (glatt) parametrisiert werden

γ (T) = (\frac{1}{2} \cos T, \frac{1}{2} Sünde T), 0 \leq T \leq 2 π .

$\gamma(t) = (\tfrac{1}{2}\cos t, \tfrac{1}{2}\sin t),\qquad 0 \leq t \leq 2\pi.$

Der Punkt ist, dass die Annäherung des Trolls durch „Manhattan“-Polygone weder das Supremum von (1) ergibt, noch gibt es einen Grund zu der Annahme, dass dies nicht der Fall sein sollte, da keiner der Scheitelpunkte auf dem Kreis liegt .

Zu diesem Thema gibt es ein wirklich ärgerliches Problem für Oberflächen in $\Reals^{3}$ : Das Analogon von (1) (bilde eine dreieckige Annäherung, deren Scheitel auf der Oberfläche liegen, summiere die Flächen der Dreiecke und nimm das Supremum) ist selbst für einen begrenzten Teil eines geraden Kreiszylinders unendlich, eine Oberfläche, die so glatt ist wie eins hoffen konnte. Spivaks Umfassende Einführung in die Differentialgeometrie enthält ein schönes Diagramm, das veranschaulicht, was schief geht. Zerdrücken Sie intuitiv einen Papierzylinder so, dass er wie ein Akkordeonbalg aussieht, und stellen Sie sich vor, dass dies so geschieht, dass die Scheitelpunkte des zerdrückten Zylinders auf einem anderen Zylinder liegen, dessen Fläche wir approximieren möchten. Die Fläche des Faltenbalgs kann beliebig groß gemacht werden.

Ausgezeichnete Erklärung, danke (obwohl ich denke, dass die Hälfte der Eckpunkte der Treppe auf dem Kreis liegen. Aber das spielt keine Rolle. Der Punkt ist, dass nicht alle auf dem Kreis liegen). Ein preisgekrönter Artikel über das Oberflächenparadoxon ist hier: maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/… .

Jose_X · Answer 14

Zusammenfassung: Die Konstruktion ganz oben (pi=4) zeigt lediglich eine obere Schranke. Es ist eine obere Grenze, aber es ist sehr einfach, eine untere, aber immer noch obere Grenze für den Umfang zu finden. Die =?4-Konstruktion beweist oder widerlegt nicht viel mehr über die Länge des Kreises, abgesehen davon, dass sie eine obere Grenze pi<4 liefert. Es beweist sicherlich nicht =4. Schließlich sollten wir uns immer auf physikalische "Experimente" verlassen, um die Sinnhaftigkeit einer Konstruktion zu untermauern.

Wenn wir ein um den Kreis umschriebenes Sechseck verwenden, können wir ziemlich leicht eine andere Obergrenze finden, die niedriger als 4 wäre; Dies beweist, dass die obige Konstruktion lediglich eine obere Grenze ist (von der es unendlich viele gibt, einschließlich pi=?10000, indem ein Pfad verwendet wird, der sich über einen kleinen Bereich zwischen einem Quadrat und einem Kreis schlängelt), aber sicherlich nicht die unterste obere gebunden.

Um der Entdeckung von pi näher zu kommen, können wir dann auch einen gespiegelten komplementären Ansatz verwenden, bei dem die unteren Grenzen über einbeschriebene Polygone mit einer zunehmenden Anzahl von Seiten erhöht werden. Wir könnten jedoch wohl auch mit der Inschrift "weben", um eine solche "untere" Grenze zu schaffen, die sich beispielsweise 4 von unten nähert! [Das heißt, durch Weben können wir einen gewebten Pfad einschreiben, der am Ende beliebig groß ist, obwohl er gut in den enger werdenden Raum zwischen dem Kreis und den Polygonen passt.]

Letztendlich besteht ein Schlüssel zur Vernunft darin, zu postulieren / zu glauben, dass die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine Linie ist (Euklid hat dies vor langer Zeit getan). Wir beobachten zum Beispiel, dass die akzeptierte Größe einer Person ein Verfahren der Verwendung eines gelehrten Messstabs oder allgemein das Messen von Kurven durch Anziehen eines flexiblen Messgeräts beinhaltet, soweit es angezogen werden kann, während es noch umarmt wird (innerhalb eines bestimmten Bereichs bleiben von) dem kurvigen Gegenstand, der gemessen wird. Dieses Verfahren ist zum Beispiel für einen Kreis aus einem Eisenring sehr einfach durchzuführen und würde eine sehr gute Annäherung an Pi ergeben. Diese Übung zeigt auch, dass Mathematik nicht die Realität ist. Mathematik basiert auf Postulaten und Definitionen (etwas muss als wahr akzeptiert werden), aber diese Postulate müssen nicht mit unserer physikalischen Welt übereinstimmen, um logisch konsistent zu bleiben. Um bedeutungsvolle Dinge über die physikalische Welt zu sagen, müssen wir die Angemessenheit mathematischer Postulate und Definitionen beurteilen [phv3773 bemerkte in einer Antwort, dass Definitionen fehlten, während andere ebenfalls viele dieser Punkte kollektiv bemerkten]; wir müssen bestimmen, was ein vernünftiger Satz von Postulaten ist, um zu beginnen, um eine vernünftige Bedeutung der Länge eines Kreises (dh des Werts von pi) zu erreichen. Wir könnten zum Beispiel schlussfolgern, dass der übliche eingeschriebene/umschriebene Ansatz auf einem Rahmen beruht, der näher an der Realität liegt, weil er tatsächlich den „experimentellen“ Ergebnissen des Maßbands willkürlich nahe kommt. wir müssen bestimmen, was ein vernünftiger Satz von Postulaten ist, um zu beginnen, um eine vernünftige Bedeutung der Länge eines Kreises (dh des Werts von pi) zu erreichen. Wir könnten zum Beispiel schlussfolgern, dass der übliche eingeschriebene/umschriebene Ansatz auf einem Rahmen beruht, der näher an der Realität liegt, weil er tatsächlich den „experimentellen“ Ergebnissen des Maßbands willkürlich nahe kommt. wir müssen bestimmen, was ein vernünftiger Satz von Postulaten ist, um zu beginnen, um eine vernünftige Bedeutung der Länge eines Kreises (dh des Werts von pi) zu erreichen. Wir könnten zum Beispiel schlussfolgern, dass der übliche eingeschriebene/umschriebene Ansatz auf einem Rahmen beruht, der näher an der Realität liegt, weil er tatsächlich den „experimentellen“ Ergebnissen des Maßbands willkürlich nahe kommt.

Ich habe einen ausgezeichneten Aufsatz gegoogelt, der detailliert auf den Aufsatz von Archimedes eingeht http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2012-02 . Es scheint für die American Mathematical Society geschrieben worden zu sein, aber vielleicht kann sein Autor (Bill Casselman) dazu überredet werden, hier einen Beitrag zu leisten.

[Unten ist meine alte Antwort]

Was ist, wenn das Maß, das wir verwenden, indem wir es nach einer um diesen Kreis gewickelten Schnur mustern, hin und her webt? Im Wesentlichen können wir eine Reihe verbundener Liniensegmente mit dieser Gesamtlänge finden $1000000000$ und doch "umarmen" den Kreis sehr eng. Eine String-Analogie folgt eng, obwohl Liniensegmente Breite haben $0$ so können wir beliebig viele einbauen.

Aus diesem Grund reicht nicht irgendeine Argumentation über die Unendlichkeit aus. Mathematiker haben gut begründete Argumente und Axiome entwickelt, die in vielen Fällen gut mit der Realität korrelieren (siehe auch dieses Argument ).

Also die Frage warum nicht $\pi = 4$ wird am besten mit der Frage beantwortet: "Warum sollte es?" Wir hätten genauso gut die lächerliche Konstruktion oben verwenden können, um dies vorzuschlagen $\pi =$ irgendeine Nummer $> 3.15$ .

Der Ansatz, den wir verfolgen, um überzeugend zu argumentieren, dass sich die Summe der Liniensegmente der "Länge der Kurve" nähert, besteht darin, Sequenzen (aus Serienpartialsummen) zu finden, die zu Funktionen passen (beachten Sie, dass das Fragebeispiel und das Webbeispiel keine Funktion darstellen wegen seiner multiplen Werte bei einem gegebenen " $x$ "), die bestimmte Eigenschaften haben. Zum Beispiel könnten wir ein unteres und oberes Begrenzungspaar von Sequenzen verwenden, die Funktionswerten von Liniensegmentendpunkten für solche erstellten Polygone entsprechen, wobei eines auf einer Seite der Kurve und das andere auf der anderen Seite bleibt zu allen Zeiten und wenn sich diese beiden Sequenzen dem gleichen Grenzwert nähern. Wir könnten den Mittelwertsatz oder verwandte Ergebnisse verwenden, um unsere endgültige Antwort zu beweisen. In jedem Fall nutzen Mathematiker eine überzeugende Reihe von Argumenten und Annahmen und tun dies nicht nur ad hoc Werfen Sie einen Haufen verdrehter Fäden auf ein Problem und behaupten Sie, die Menge der verwendeten Fäden beweise das Unbeweisbare.

@Jose_X: Ich hasse es, deinen Enthusiasmus zu dämpfen, aber es war nicht wirklich notwendig, eine neue Antwort auf diesen Thread zu posten. Es gibt bereits viele gute Antworten und dieser Thread ist schon ziemlich alt.
@Qiaochu Yuan, ich habe die oberste Antwort gelesen und sie spricht davon, dass die Länge eine falsche Antwort über eine bestimmte Konstruktion ist, sagt aber einfach, dass sie falsch ist. Es gibt keine Erklärung, warum pi etwas anderes als 4 sein sollte. Es spricht auch von Bereich, der nichts mit dem Problem zu tun hat. Wir können nicht annehmen, dass A = pi r r ist, wobei pi dasselbe ist wie Umfang/pi. Jetzt können wir diese Probleme lösen, aber sie sind einfach nicht "offensichtlich" und werden von dieser Frage nicht angesprochen. Die zweithöchste Antwort erwähnt einen wichtigen Punkt zu Derivaten, aber es ist isoliert. Eine Ableitung ist auch keine Länge.
@Jose_X: Die akzeptierte Antwort ist knapp, aber sie beantwortet die Frage. Die grundlegende Beobachtung hier ist, dass die Länge keine kontinuierliche Funktion der "offensichtlichen" Topologie auf rektifizierbaren Kurven in der Ebene ist. Die zweithöchste Antwort gibt eine kurze Erklärung, warum dies für den Spezialfall sinnvoll ist $C^1$ Kurven.
@Qiaochu Yuan, ich sehe nicht, wie die erste Antwort das Problem der Kurvenlänge anspricht. Die Fläche hat nichts mit der Kurvenlänge zu tun. Besonders als Person, die diese Frage bei Google sehen könnte, denke ich kaum, dass die Antwort gut ist. Es steht mir nicht zu, zu akzeptieren oder abzulehnen, aber ich sehe, dass das Bit, das ich der Konversation hinzugefügt habe, -1 ist, während dieses 40 ist. Dies ist auch eine Seite für die breitere Öffentlichkeit, die sich für Mathematik interessiert, richtig? Die Frage selbst deutet nicht darauf hin, dass Sie einen Abschluss in Mathematik benötigen, um die beigetragenen Antworten zu schätzen. Irgendein bestimmtes Thm, auf das sich die erste Antwort berief?
@Jose_X: Die am höchsten bewertete Antwort versucht, eine vernünftige Intuition anzusprechen (die falsch ist), dass sich ihre Längen annähern, wenn Sie eine Kurve und eine Folge von Kurven haben, bei denen die Fläche zwischen ihnen auf Null geht. Der Punkt hier ist, dass sich die Fläche (die sich kontinuierlich verhält, wenn ein Bereich in der Ebene verformt wird) anders verhält als die Länge (die sich nach einer kleinen Verformung unregelmäßig verhalten kann), und dies ist ein wichtiger Punkt, da man naiv denken könnte, dass sie sich ähnlich verhalten .
Sehr gut, ich akzeptiere, dass es sich auf die Beziehung zwischen Kurvenlänge und Fläche stützte (falls es das tat), aber diese Website ist für ein breiteres Publikum als Mathematik-Majors (oder Absolventen).
Wenn wir von Intuition sprechen, indem wir eine Messschnur bündeln, wird Ihnen jeder sagen, dass Sie nicht auf die richtige Antwort kommen werden. Die Fläche als intuitives Konzept zur Erklärung eines Längenmessproblems spielt hier keine Rolle (z. B. kann eine sehr lange Saite sehr leicht „1 mm ^ 2 in Anspruch nehmen“).
@Jose_X: Ich glaube kaum, dass Mathematikstudenten die einzigen Leute sind, die über Fläche und Länge nachdenken. Wenn Sie einen Standardkurs in Analysis besucht haben, haben Sie wahrscheinlich die Fläche einer Region berechnet, indem Sie sie mit Rechtecken angenähert haben, und wenn Sie in Ihrem Standardkurs in Analysis nicht zu viel Aufmerksamkeit geschenkt haben, denken Sie vielleicht, dass Sie auch die Umfänge von berechnen können Regionen, indem Sie sie mit Rechtecken approximieren. Das ist ein Kontext, mit dem man fairerweise sagen kann, dass viele Leute, die das College besucht haben oder in der High School gut abgeschnitten haben, vertraut sind.
@Qiaochu Yuan, ich verstehe, was du meinst, dass die Fläche möglicherweise der Länge entspricht, auch wenn wir sie nicht so messen, und es ist völlig lächerlich, wenn man bedenkt, wie man kilometerlange dünne Schnüre zu einer winzigen Fläche bündeln kann und das a Dreieck und Quadrat (jeweils "leicht" messbar) haben unterschiedliche Verhältnisse von Fläche zu Umfang. In diesem Zusammenhang, dass die Top-Antwort ein bestimmtes mögliches Missverständnis darüber anspricht, wie Länge und Fläche zusammenhängen, sehe ich nicht ein, warum andere Bedenken angesprochen werden sollen => < 0 Punktzahl? Wie auch immer, danke für die Klärung der ersten Antwort für mich. An diese Verwirrung habe ich wirklich nicht gedacht
@Qiaochu Yuan, danke, dass du dir die Zeit genommen hast, auf meine Bedenken einzugehen. Meine "Antwort" ist sowieso nicht so klar.
@Qiaochu: "Es war nicht wirklich notwendig, eine neue Antwort zu posten ... [dieser Thread] ist schon ziemlich alt." - Ich bin mit dieser Aussage nicht einverstanden. Das Posten in alten Threads (auch solchen mit akzeptierten Antworten) ist nicht nur erlaubt, sondern sogar erwünscht – wir wollen kein weiteres Yahoo Answers werden. Trotzdem stimme ich dieser Antwort aus einem anderen Grund nicht zu: Ich glaube nicht, dass sie die Frage beantwortet.

MCCCS · Answer 15

Beweis durch Widerspruch

Wie groß ist der Umfang eines regelmäßigen Polygons mit einem einbeschriebenen Kreis mit Einheitsdurchmesser?

Es hat ein Apothema gleich dem Radius (Abstand zwischen einer Seite und der Mitte): $\frac{1}{2}$

Der Mittelpunktswinkel vor einer Seite ist $\frac{360^\circ}{n}$ .

^{Neben 180 steht "deg"}

Eine ganze Seite ist also lang $2\cdot \left(\frac{1}{2}\tan{\frac{180^\circ}{n}}\right)$

Es gibt $n$ Seiten, also hat es Umfang ${n\tan{\frac{180^\circ}{n}}}$

Die Faltmethode (Details am Ende der Antwort) bewahrt den Umfang. Der Umfang des Polygons entspricht also dem Umfang des Kreises

Dividieren durch den Durchmesser (die Definitionen von $\pi$ ), welches ist $1$ , wir bekommen $\pi = n\tan{\frac{180^\circ}n}$

_{^{(was eigentlich nur dann richtig ist, wenn $\lim_{n\to \infty}$ ! Denken Sie daran, wie unterschiedlich die Auswahlmöglichkeiten sind $n$ kann den berechneten Wert von ändern $\pi$ !)}}

Der Widerspruch

Ersetzen Sie das Quadrat durch ein Dreieck und wenden Sie die gleichen Schritte an, und Sie werden das sehen $\pi = 3\tan{\frac{180^\circ}{3}} \approx 5.196$

Ersetzen Sie das Quadrat durch ein Sechseck und wenden Sie die gleichen Schritte an, und Sie werden das sehen $\pi = 6\tan{\frac{180^\circ}{6}} \approx 3.464$

Ersetzen Sie das Quadrat durch ein Einzehneck (19-Eck) und wenden Sie die gleichen Schritte an, und Sie werden das sehen $\pi = 19\tan{\frac{180^\circ}{19}} \approx 3.171$

Abschluss

Auf diese Weise zu berechnen $\pi$ durch Annahme $\text{circumference} = \text{perimeter}$ ist ungültig, da sie sich selbst widerspricht.

Weitere Beschreibung

Die grüne Linie halbiert den Abstand zwischen dem Winkel und dem Bogen. Es repräsentiert das Falten. Wenn wir dies mehrmals wiederholen (in jedem Schritt auf neu gebildete Scheitelpunkte anwenden), werden wir feststellen, dass der Umfang des Kreises gleich dem Umfang des Polygons ist, denn nach jedem Schritt:

alle Scheitelpunkte nähern sich dem Kreis
die Anzahl der Ecken verdoppelt sich
der Umfang bleibt konstant

Der Polygonteil im Bild stammt von einem Fünfeck. Egal wie der Winkel ist oder wie viele Seiten das Polygon hat, wir können jeden Scheitelpunkt unendlich oft falten und finden "Umfang = Umfang", aber da jedes Polygon einen anderen Umfang haben würde , haben wir einen Selbstwiderspruch.

Ich fand es toll, wie all die anderen Antworten ein bisschen lang und kompliziert waren, und dann haben Sie eine Antwort unter ihnen, die so kurz und süß ist. Aber nach Ihrem Widerspruch bedeutet das, dass ein Kreis hat $π$ Seiten?
@GeorgeN.Missailidis > "Wende die gleichen Schritte an" < = Nachdem du die Ecken fünfmal gebogen hast, wirst du das sehen $\pi = n$ , zB 4 für Quadrat. Das Problem ist "Wir können nicht unendlich erreichen." Siehe dies: imgh.us/Screen_Shot_2017-07-23_at_18.20.26.png
Hmm. Ein $n$ - einseitiges regelmäßiges Polygon, das um einen Einheitskreis umschrieben ist, hat keinen Umfang $n$ , Aber $2n\tan(\pi/n)$ .
Ich habe abgelehnt, ohne darüber nachzudenken, wie "die gleichen Schritte anwenden" funktionieren könnte (ich habe meinen Fehler bemerkt, aber erst, als die Abstimmung abgeschlossen war), also danke für die proaktive Klärung für diesen Idioten hier. Das tut mir leid. 😔
Um jedoch den Kommentar von Zach Teitler zu erweitern: Für $n \geq 5$ , das regelmäßige $n$ -Eck mit Seitenlänge $1$ umschreibt den Kreis nicht mehr mit Durchmesser $1$ . Dies hat folgende Auswirkungen: (1) Besonders für größere $n$ , kann es am Anfang mehrere Faltschritte geben, die den Kreis nicht berühren. (2) Es ist geometrisch nichts Besonderes, einen Umfang zu haben $n$ ; Wir können eine beliebige Seitenlänge wählen, solange das resultierende regelmäßige Polygon den Kreis enthalten kann. Also in der Tat mit einem regulären $n$ -gon, wir können tatsächlich zeigen " $\pi = x$ " für jede reelle Zahl $x \geq 2n \tan(\pi/n)$ .
Eine Behauptung, die in Ihrer Antwort falsch ist : "Ersetzen Sie das Quadrat durch ein Dreieck und wenden Sie die gleichen Schritte an, und Sie werden das sehen $\pi = 3$ " ist falsch, denn wenn ein Weg immer in Reichweite bleibt $\epsilon$ des Kreises, dann muss die Weglänge mindestens betragen $(1-2\epsilon)\pi$ , der Umfang der inneren Grenze.
@epimorphic Du hast absolut recht, ich habe Zachs Kommentar falsch verstanden und meinen Fehler nicht gesehen. Ich bearbeite jetzt. Vielen Dank für die Erklärung

KeithS · Answer 16

Ah, der alte Denkprozess zwischen Ingenieur und Mathematiker.

Platziere einen Ingenieur und einen Mathematiker an einem Ende eines Raums. Am anderen Ende ist eine schöne Frau. Bei jedem "Schritt" können sie jeweils die Hälfte der verbleibenden Distanz zwischen ihrer aktuellen Position und der Frau zurücklegen. Der Mathematiker wird sagen, du wirst sie nie erreichen. Der Ingenieur wird sagen, dass Sie nahe genug herankommen können.

Dieses Problem ist ähnlich. Die äußersten Ecken eines Einheitsquadrats werden nach innen "gebogen", um einen 1/2-Einheitskreis zu berühren, bis so viele Ecken vorhanden sind, dass das Quadrat bei dieser Zoomstufe nicht vom Kreis selbst zu unterscheiden ist (ähnlich wie bei der Verwendung rechteckiger Pixel). Wiederholt "bis ins Unendliche", hätten die beiden Formen die gleiche Fläche. Dieser Prozess wird jedoch niemals einen mathematischen Kreis ergeben; nur eine Annäherung eines Ingenieurs ("nah genug") Dies wird immer die gleiche Umfangsmessung erzeugen, selbst wenn die Flächen der beiden Formen zusammenlaufen. Wenn Sie stattdessen beim Iterieren dieser Formdefinition um die Hypotenusen herum messen würden, WÜRDE der Umfang beginnen, sich dem Umfang des halben Einheitskreises anzunähern, $\pi$ .

Der Trugschluss des Beweises wird deutlich, wenn Sie die Form betrachten, die von zwei beliebigen Liniensegmenten gebildet wird, die sich an einem anderen Punkt als auf dem Kreis schneiden. Diese beiden Linien beschreiben eine Bogenlänge, da sie jeweils einen anderen Punkt auf dem Kreis schneiden. Der Einfachheit halber können Sie sich die resultierende Form als rechtwinkliges Dreieck vorstellen. Der Beweis behauptet im Grunde, dass die Summe der Länge der beiden Schenkel dieses Dreiecks gleich der Hypotenuse ist. Dies ist niemals wahr, weil der Satz des Pythagoras von $a^2+b^2=c^2$ gilt nie für irgendjemanden $a,b,c > 0$ Wo $a+b=c$ .

Die einzige Möglichkeit, wie es funktionieren kann, ist für eine $a$ oder $b$ das ist null und somit ist die Fläche der Form null; Dies geschieht niemals in der zu erzeugenden Konstruktion, in keinem Intervall, da wir durch die Definition der Konstruktion zwei Punkte haben, die auf dem Kreis liegen, und einen Punkt, der außerhalb des Kreises liegt, und aus der Geometrie heraus werden sich immer drei beliebige nicht kolineare Punkte einschreiben eine Form innerhalb einer Ebene mit einem Nicht-Null-Bereich.

Meinst du vielleicht 90% der Reststrecke? Oder sagen Sie, dass 1/9 des Weges dorthin für den Ingenieur nah genug ist? :-)
Das Problem der unerreichbaren Frau ist ein falsches Argument für dieses Problem. Denn wenn die Folge der Umfänge zu der des Kreises konvergiert, dann könnte nicht nur pi so nahe wie möglich an 4 herangeführt werden, sondern auch pi IST 4 (im Gegensatz zum Problem der unerreichbaren Frau, wo die Grenze von keinem Element erreicht wird). in der Reihenfolge). Dies, weil pi eine feste Zahl ist, und wenn a, b reelle Zahlen sind, $|a-b|<\epsilon$ für jeden $\epsilon$ impliziert $a=b$

G-Fahrerhaus · Answer 17

Wir können sagen, dass der dargestellte Prozess dies tatsächlich demonstriert

\frac{\sqrt{2}}{2} 4 < π < 4

$\frac{\sqrt{2}}{2} 4 < \pi < 4$

Jose_X · Answer 18

Einfache geometrische Erklärung

Betrachten Sie die Annäherung an den Umfang (an Pi), die durch die Frage vorgeschlagen wird. Nennen Sie das einen schrittweisen Ansatz.

Betrachten Sie die Annäherung der Verwendung eines einbeschriebenen oder umschriebenen regelmäßigen Polygons, um den Umfang anzunähern. Nennen Sie das einen Polygonansatz.

Beachten wir Folgendes.

1: Ein schrittweiser Ansatz beruht vollständig auf 90-Grad-Winkeln.

2: Währenddessen hat ein regulärer Polygonansatz die Winkel stumpf und nähert sich tatsächlich 180 Grad, wenn die Anzahl der Seiten zunimmt.

3: Wenn wir hineinzoomen, können wir ein winziges Segment des Kreises nicht mehr von einer geraden Linie unterscheiden.

Bei der Schrittkonstruktion beginnt bei einer sehr hohen Iterationszahl jeder Schritt an einem Ende eines winzigen Segments und endet am anderen Ende. In einigen Fällen, wenn wir um den Kreis gehen, ist die vertikale Schrittkomponente sehr kurz und dann eine lange horizontale Komponente. In diesen Fällen nähert sich die Stufenkonstruktion dem "fast geraden" winzigen Segment des Kreises in der Länge an. Aber in vielen anderen Fällen wird der Aufwärtsschritt länger sein. Im Extremfall ist der vertikale Teil genau so lang wie der horizontale Teil. In diesem Extremfall nähern wir die Länge der "flachen" Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks an, um gleich der Summe der beiden Schenkel zu sein. Das ist natürlich eine schlechte Annäherung. Diese Fälle mit vielen ziemlich schlechten Annäherungen treten regelmäßig auf.

Gegensatz zum Polygon-Ansatz. Hier nähern wir die Länge der längsten Seite eines gleichschenkligen Dreiecks als Summe der Längen der beiden gleichen Seiten an. In allen Fällen ist dies eine gute Annäherung, da das Polygon notwendigerweise fast 180 Grad betragen muss, um eine "Kontinuität" in der Neigung zum nächsten Segment zu erreichen. (Es ist ein konvexes Polygon).

Zusammenfassung: Der schrittweise Ansatz muss 90-Grad-Pseudodreiecke verwenden, bei denen die kurzen 2 Beine verwendet werden, um sich dem langen "fast geraden" Bein anzunähern. Dies ist in vielen Fällen eindeutig unzureichend, insbesondere wenn das Dreieck nahezu gleichschenklig ist. Im Gegensatz dazu hat das Dreieck beim Polygonansatz immer einen Winkel, der sich 180 Grad nähert, so dass die Summe der beiden kurzen Beine notwendigerweise ungefähr gleich ist (in Bezug auf relative Prozentsätze) wie die Länge des "fast geraden" Beins.

Kann sich die Person, die abgelehnt hat, bitte erklären? (Fußklopfen und Arme verschränkt.. lol)

Benutzer347499 · Answer 19

Viele der obigen Antworten haben dies auf rigorose Weise behandelt, daher werde ich versuchen, etwas Intuition dahinter zu stellen.

Lassen $C_n$ Sei der Umfang deiner Parametrisierung. Davon gehen Sie aus $\pi = \lim_{n \to \infty} C_n$ . Darin liegt das Problem $\pi$ ist nicht als solche Grenze definiert. Tatsächlich ist das Argument durch die Annahme grundlegend fehlerhaft $[\forall n \in \mathbb N, \,\,P(S_n)] \implies P(\lim_{n \to \infty} S_n)$ , das heißt, wenn jedes Element einer Sequenz eine Eigenschaft erfüllt $P$ , den Grenzwert der Folge selbst erfüllen $P$ .

Mit einem ähnlichen Argument können Sie das zeigen $\mathbb R = \mathbb Q$ . Lassen $r \in \mathbb R$ . Lassen $c_n$ sei die Cauchy-Folge von $r$ . Seit $c_n \in \mathbb Q$ , $r \in \mathbb Q$ . Seit $\mathbb Q \subseteq \mathbb R$ , wir haben $\mathbb R = \mathbb Q$ .

Lebewohl · Answer 20

Obwohl es viele Antworten gibt, möchte ich die folgende einfache, nicht strenge Erklärung hinzufügen, wenn dies überhaupt als Erklärung bezeichnet werden kann, die nur die Begriffe Zählbarkeit und Unzählbarkeit verwendet.

Lassen Sie uns die Kurve bezeichnen, bei der wir nach dem ankommen $n$ "Entfernungsschritte" als $A_n$ und lassen Sie uns den Kreis bezeichnen, den wir annähern $C$ . Für jeden $n \in \mathbb N$ Wir haben das Set $A_n \cap C$ ist endlich, weil es endlich viele Punkte gibt, die sowohl auf der Kurve als auch auf dem Kreis liegen.

An der Grenze $\lim_{n \to \infty} A_n \cap C=A \cap C$ wir haben das die Grenzkurve $A$ und der Kreis $C$ haben unendlich viele Punkte, die beide auf der Kurve liegen $A$ und auf dem Kreis $C$ aber die Menge aller solcher Punkte ist abzählbar und der Kreis hat eine unabzählbare Anzahl von Punkten.

Mit dieser einfachen und elementaren Analyse sehen wir also die Grenzkurve $A$ und der Kreis $C$ nicht zusammenfallen, in der Tat, fast alle Punkte der Kurve $A$ wird nicht auf dem Kreis sein $C$ Daher ist es keine große Überraschung, dass ihre Längen unterschiedlich sein werden.

Das scheint mir an der Sache vorbei zu gehen. Erstens gilt das gleiche Argument für eine eingeschriebene oder umschriebene Regelmäßige $n$ -gon, aber jetzt "kommt die Antwort wie erwartet". Wenn Sie umgekehrt die Annäherungskurve des OP ändern, indem Sie einen Teil durch einen beliebig kurzen Kreisbogen ersetzen, ändert sich die Länge der "Annäherung" nicht merklich, aber die Annäherungskurve schneidet den Kreis jetzt an unzähligen Punkten.
@AndrewD.Hwang Sie haben Recht, ich habe nur eine einfache Beobachtung hinzugefügt, dass die Grenzkurve in der Grenze nicht mit dem Kreis zusammenfällt, so dass es kein Paradoxon gibt. In diesem Fall hat die Kurve bei jeder Stufe die gleiche Länge, aber im Fall von eingeschrieben oder umschrieben regelmäßig $n$ -gons nimmt die Länge ab und konvergiert zu $\pi$ für umschriebene und erhöht und konvergiert zu $\pi$ für eingeschriebene, aber in diesem "Paradoxon" ist es bei jedem Schritt konstant, das ist der Unterschied.

sasquires · Answer 21

Wenn mir diese Frage von einem Mathematikstudenten im ersten Jahr gestellt würde, dann würde ich als Erstes Folgendes an die Tafel schreiben:

\sqrt{D X^{2} + D j^{2}} \neq | D X | + | D j |

$\sqrt{dx^2 + dy^2} \ne |dx| + |dy|$ (Dies ist immer noch ein häufiger Fehler unter Mathematikstudenten an Gymnasien, aber bis jemand die Analysis lernt, hoffe ich, dass ihm bewusst ist, dass er falsch ist.)

Wenn Sie ein infinitesimales Element des Kreises betrachten, ist die Länge

D ℓ = \sqrt{D X^{2} + D j^{2}}

$d\ell = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ Die einzige Beziehung zwischen dem Kreis und der "annähernden" Kurve besteht darin, dass sie den gleichen Wert von haben

| d x | + | d y |

$|dx| + |dy|$ , was keine aussagekräftige Größe ist, wenn es um die Länge geht (zumindest, wie bereits erwähnt, wenn Sie eine euklidische Metrik verwenden). Der Wert von

d ℓ

$d\ell$ ist für keine entsprechenden infinitesimalen Elemente der beiden Kurven gleich, daher gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass es für das gesamte Polygon gleich sein wird.

Konstantinos Gaitanas · Answer 22

Ich bin bisher mit keiner der Antworten zufrieden, also hier ist meine:
Let $S(n)$ sei die Form, die wir danach haben $n$ "Falten". (Zum Beispiel $S(0)$ ist das Quadrat am Anfang. )

Die Konstruktion des „Paradoxons“ könnte eine der folgenden Behauptungen aufstellen:

Da der Bereich von $S(n)$ nimmt ab, der Umfang von $S(n)$ nähert sich dem Bereich von $C$ .

Oder,

Da der Bereich von $S(n)$ nimmt ab, die Fläche von $S(n)$ nähert sich dem Bereich von $C$ .

Ersteres macht nicht einmal Sinn, da die Fläche einer Form nicht gleich dem Umfang ist. Es gibt keinen Grund, den Bereich mit dem Perimeter zu verbinden.

Der zweite ist richtig. Nach einer Million Wiederholungen erhalten wir die Fläche des Polygons durch "Falten" $S$ wird ungefähr gleich sein $\pi$ . Das hat aber nichts mit der Zahl zu tun $4$ , da dies der Umfang von war $S$ .

Anixx · Answer 23

Tatsächlich hängt die Antwort auf diese Frage von der gewählten Verdichtung ab.

Es kann eine Verdichtung geben, bei der die Grenze Ihres Umfangs keines von beiden ist $\pi$ , noch $4$ . Es ist eine nicht reelle Zahl, die einen Modul hat $4$ aber regularisierter (realer) Teil $\pi$ .

Sie können sich eine andere solche Zahl vorstellen, wenn Sie darüber nachdenken $(-1)^\infty$ . Es hat eine Grenze des Moduls $1$ aber (Cesaro- oder Abel-) regularisierter Wert ist $0$ .

Die regularisierten Werte müssen nicht unbedingt kleiner als Modul sein, es gibt auch gegenteilige Beispiele.

Das Treppenparadox oder warum π≠4π≠4\pi\ne4

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