Quadratwurzeln der abstrakten Algebra sind irrational

Für Teil (a) beginne ich damit, zu beweisen$S$ist leer impliziert die Quadratwurzel von$D$ist irrational. Wenn wir das Gegenteil dieser Implikation nehmen, ist dies gleichbedeutend mit dem Beweis, dass wenn die Quadratwurzel von ist$D$ist dann rational$S$ist nicht leer. Lassen$D$sei eine positive ganze Zahl und nehme an$D$ist vernünftig. Dann folgt das$D^2$ist ein perfektes Quadrat. Außerdem ist S = n*D^1/2 und da n und D positive ganze Zahlen sind, ist S per Definition nicht leer. Umgekehrt wollen wir beweisen, dass die Quadratwurzel von D nicht rational ist impliziert, dass S leer ist. Dies folgt aber trivialerweise aus dem Produkt einer rationalen und einer irrationalen Zahl. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Argumentation stichhaltig ist, aber konstruktive Kritik wäre willkommen.

Für Teil (b) bin ich mir nicht sicher, wie genau ich Well-Ordering verwenden soll, um die Ungleichung zu beweisen. Ich nehme an, mein ursprünglicher Gedanke war, beide Seiten der Ungleichung zu quadrieren und dann einige Terme neu anzuordnen. Da die Quadratwurzel von D nicht rational ist, folgt daraus, dass D^2 kein perfektes Quadrat ist. Dann können wir es entsprechend binden?

Für Teil (c) denke ich, dass wir damit beginnen sollten, die Zahl m * (D ^ 1/2 - a) zu betrachten. Von da an weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Jede Hilfe wäre sehr willkommen.