Definition von Poincaré-Homomorphismus

In der folgenden Frage$H^i_c(M;G)$bezeichnet die kompakte Trägerkohomologie,$M$ein$n-$orientierte Mannigfaltigkeit und$G$eine abelsche Gruppe.

Die Definition, die ich von Poincarè-Homomorphismus habe$P_M : H^i_c(M;G) \longmapsto H_{n-i}(M;G)$ist das Folgende:

Die Cap-Produkt-Operation$\mu_K$definiert einen Homomorphismus$P_K: H^i(M,M\setminus K) \longmapsto H_{n-i}(M)$definiert von$P_K(\alpha) = \alpha \frown \mu_K$.

Unter zwei Kompakten$K \subseteq L$und unter Verwendung der Natürlichkeit des Kappenprodukts haben wir ein kommutatives Diagramm

$$\require{AMScd} \require{cancel} \def\diaguparrow#1{\smash{\raise.6em\rlap{\ \ \scriptstyle #1} \lower.6em{\cancelto{}{\Space{2em}{1.7em}{0px}}}}} \begin{CD} && H_{i}(M,M\setminus L)\\ & \diaguparrow{i} @VV\bullet \frown \mu_L V \\ H^{i}(M,M\setminus K) @>>\bullet \frown \mu_K> H_{n-i}(M) \end{CD}$$

Nehmen Sie die direkte Grenze über alle Kompakten$K \subseteq M$Wir haben eine Karte definiert$P_M : H^i_c(M) \longmapsto H_{n-i}(M)$.

Soweit ich weiß, scheint die Poincaré-Karte die Karte zu sein, die durch dieses Diagramm auf der direkten Grenze induziert wird.

In den Konsequenzen des Theorems fand ich in meinen Notizen die folgende Beobachtung:

$P_M(\alpha) = \alpha \frown \mu_M$Wenn$M$ist kompakt (ich bin mir bewusst, dass if$M$kompakt ist, als es eine eindeutige Klasse in gibt$H_n(M)$die einige Orientierungseigenschaften berücksichtigen).

Jetzt ist meine Frage: Woher wissen wir, dass die Poincaré-Abbildung, die die Abbildung ist, die durch Nehmen der direkten Grenze induziert wird, tatsächlich der Homomorphismus ist, der durch Nehmen des Kappenprodukts mit der Fundamentalklasse induziert wird?$\mu_M$?