Zeigen Sie, dass ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räumen X,YX,YX,Y einen Homomorphismus zwischen den singulären Kettengruppen Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y) induziert

Question

Zeigen Sie, dass ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räumen X,YX,YX,Y einen Homomorphismus zwischen den singulären Kettengruppen Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y) induziert

Mathematik
Algebraische Topologie
Homologie-Kohomologie

Benutzer35687

Zunächst ein paar Definitionen:

Definition 1. Der Standard -n-Simplex ist gegeben durch

Δ^{N} = {(T_{0}, T_{1}, \dots, T_{N}) \in R^{N + 1} | \sum_{ich = 0}^{N} T_{ich} = 1, T_{ich} \geq 0, 0 \leq ich \leq N} .

$\Delta^n = \{(t_0, t_1, \ldots , t_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \vert\sum_{i=0}^{n} t_i = 1, t_i \geq 0, 0 \leq i \leq n \}.$

Definition 2. Ein singulärer n-Simplex in einem topologischen Raum $X$ ist eine kontinuierliche Karte

σ : Δ^{N} \to X .

$\sigma\colon \Delta^n \rightarrow X.$

Definition 3. Eine singuläre n-Kette in $X$ ist eine endliche formale Linearkombination

a = C_{1} σ_{1} + C_{2} σ_{2} + \dots + C_{M} σ_{M}

$\alpha = c_1\sigma_1 + c_2\sigma_2 + \cdots + c_m\sigma_m$ mit

c_{i} \in Z

$c_i \in \mathbb{Z}$ ,

σ_{i}

$\sigma_i$ sind Singular n - Simplizes in

X

$X$ .

Lassen $C_n(X)$ sei die Gruppe aller singulären n-Ketten in $X$ mit dem natürlichen Zusatz:

a_{1} + a_{2} := \sum_{ich = 1}^{M} (C_{ich} + D_{ich}) σ_{ich} .

$\alpha_1 + \alpha_2 := \sum_{i=1}^{m}(c_i+d_i)\sigma_i.$

Lassen $X, Y$ seien homöomorphe Räume. Lassen $f:X \rightarrow Y$ sei eine kontinuierliche Karte.

Frage: Gemäß den Texten (z. B. Hatcher Algebraic Topology ) können wir einen induzierten Homomorphismus definieren:

\tilde{F} : C_{N} (X) \to C_{N} (Y)

$\tilde{f}:C_n(X) \rightarrow C_n(Y)$

\tilde{F} (σ) = F σ

$\tilde{f}(\sigma) = f\sigma$

wo für jedes singuläre n-simplex in $X$ , $\sigma:\Delta^n \rightarrow X$ , $f\sigma$ ist ein singulärer n-simplex in $Y$ $f\sigma:\Delta^n \rightarrow Y.$

Für beliebige Linearkombinationen $\Sigma_i a_i \sigma_i$ für $a_i \in \mathbb(Z), \sigma_i:\Delta^n \rightarrow X$ ,

\tilde{F} (Σ_{ich} A_{ich} σ_{ich}) = Σ_{ich} A_{ich} \tilde{F} (σ_{ich}) = Σ A_{ich} F σ_{ich}

$\tilde{f}(\Sigma_i a_i \sigma_i) = \Sigma_i a_i \tilde{f}(\sigma_i) = \Sigma a_i f \sigma_i$

Wie können wir zeigen, dass dies ein Homomorhismus ist?

Hier ist, was ich bisher habe:

Lassen $\sigma_1$ Und $\sigma_2$ seien singuläre n-Simplexe in $X$ .

Dann,

\tilde{F} (σ_{1} σ_{2}) = F (σ_{1} σ_{2})

$\tilde{f}(\sigma_1 \sigma_2) = f(\sigma_1 \sigma_2)$

Und

\tilde{F} (σ_{1}) \tilde{F} (σ_{2}) = F (σ_{1}) F (σ_{2})

$\tilde{f}(\sigma_1) \tilde{f}(\sigma_2) = f(\sigma_1)f(\sigma_2)$

Woher wissen wir, dass diese Ausdrücke gleich sind?

Bearbeiten: Die Notation in diesen Ausdrücken ist nicht so genau wie die Operation in den Gruppen $C_n(X), C_n(Y)$ Ist $+$ . Siehe Williams Antwort.

(Bitte geben Sie eine Antwort in Bezug auf die allgemeine Gruppentheorie und die in dieser Frage erwähnten Dinge; dh bitte keine Kategorientheorie.)

Antworten (1)

Zeigen Sie, dass ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räumen X,YX,YX,Y einen Homomorphismus zwischen den singulären Kettengruppen Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y) induziert

Wilhelm · Answer 1

Jede Kette $c\in C_n(X;\mathbb{Z })$ ist eine Summe

\sum_{σ \in C (Δ^{N}, X)} A_{σ} σ

$\sum_{\sigma \in C(\Delta^n, X)} a_\sigma \sigma$ Wo

C (Δ^{n}, X)

$C(\Delta^n, X)$ ist die Menge der stetigen Funktionen aus der

n

$n$ -Simplex zu

X

$X$ ,

a_{σ} \in Z

$a_\sigma \in \mathbb{Z}$ , Und

a_{σ} = 0

$a_\sigma = 0$ für alle außer endlich vielen

σ

$\sigma$ .

Dann wenn $c_1 = \sum_\sigma a_\sigma \sigma$ Und $c_2 = \sum_\sigma b_\sigma \sigma$ wir haben per definitionem

\begin{aligned} \tilde{F} (C_{1}) + \tilde{F} (C_{2}) & = \sum_{σ} A_{σ} F σ + \sum_{σ} B_{σ} F σ \\ = \sum_{σ} (A_{σ} + B_{σ}) F σ \\ = \tilde{F} (\sum_{σ} (A_{σ} + B_{σ}) σ) \\ = \tilde{F} (C_{1} + C_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \tilde{f}(c_1) + \tilde{f}(c_2) &= \sum_{\sigma} a_\sigma f\sigma + \sum_{\sigma} b_\sigma f\sigma\\ &= \sum_\sigma (a_\sigma + b_\sigma) f\sigma \\&= \tilde{f}(\sum_\sigma (a_\sigma + b_\sigma)\sigma) \\&= \tilde{f}(c_1 + c_2) \end{align}$

Ich weiß, Sie sagten "keine Kategorientheorie", aber das ist eigentlich nur die universelle Eigenschaft des freien Produkts in der Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn $S$ ist eine Menge und $F(S)$ ist die freie abelsche Gruppe, die von erzeugt wird $S$ , Und $G$ eine beliebige abelsche Gruppe ist, dann jede Funktion $f\colon S \to G$ erstreckt sich eindeutig auf einen Homomorphismus $\tilde{f}\colon F(S) \to G$ dessen Formel die gleiche ist wie die, die Sie aufgeschrieben haben.

Ja, ich bin dieser universellen Eigenschaft begegnet; danke für den Hinweis. Frage: Wenn wir zeigen, dass etwas ein Homomorphismus ist, müssen wir zeigen $f(xy) = f(x)f(y) \all x,y \in X$ es scheint, dass Sie es nur für das Besondere zeigen $c_1, c_2$ in Ihrer Antwort, dh Sie haben gewählt $c_1, c_2$ keine Gemeinsamkeiten haben $\sigma$ in ihrer Linearkombination. Darf man das? was die allgemeine kette? Danke.
Ich habe meine Indizes geändert, um es hoffentlich weniger verwirrend zu machen.

Zeigen Sie, dass ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räumen X,YX,YX,Y einen Homomorphismus zwischen den singulären Kettengruppen Cn(X),Cn(Y)Cn(X),Cn(Y)C_n(X), C_n(Y) induziert

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Wilhelm

Benutzer35687

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