Über einige Vermutungen über Wiederholungen

Question

Über einige Vermutungen über Wiederholungen

Factoring
Mathematik
Teilbarkeit
Zahlentheorie
Wiederholungszahlen
Freizeit-Mathematik

José Arnaldo Bebita Dris

Bei der Recherche zum Thema Descartes-Zahlen bin ich auf folgendes scheinbar verwandtes Teilproblem gestoßen:

PROBLEM: Ermitteln Sie die Bedingungen an $n$ so dass
$\frac{10^{N} - 1}{9}$ $\frac{{10}^n - 1}{9}$ ist quadratfrei.

MEIN VERSUCH

Satz

M := \frac{10^{N} - 1}{9} .

$m := \frac{{10}^n - 1}{9}.$

(Beachten Sie, dass $m$ wird Repunit genannt . Die Suche nach dem Schlüsselwort "squarefree" auf dieser Wikipedia-Seite ergab keine Ergebnisse.)

Ich bemerkte, dass $m$ ist quadratfrei für $n = 1$ .

Also lass $n > 1$ . Das habe ich auch beobachtet, z $n \geq 2$ , haben wir tatsächlich

M \equiv 3 (Mod 4),

$m \equiv 3 \pmod 4,$ so dass

m

$m$ ist kein Quadrat .

Als nächstes betrachtete ich die Primfaktorzerlegungen von $m$ für das erste Dutzend $n \neq 1$ :

\begin{array}{ccc} Wert von N & Wiederholung M & Primfaktorzerlegung von M \\ 2 & 11 & 11 \\ 3 & 111 & 3 \times 37 \\ 4 & 1111 & 11 \times 101 \\ 5 & 11111 & 41 \times 271 \\ 6 & 111111 & 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \\ 7 & 1111111 & 239 \times 4649 \\ 8 & 11111111 & 11 \times 73 \times 101 \times 137 \\ 9 & 111111111 & 3^{2} \times 37 \times 333667 \\ 10 & 1111111111 & 11 \times 41 \times 271 \times 9091 \\ 11 & 11111111111 & 21649 \times 513239 \\ 12 & 111111111111 & 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 101 \times 9901 \\ 13 & 1111111111111 & 53 \times 79 \times 265371653 \end{array}

$\begin{array}{c|c|c|} \text{Value of } n &\text{Repunit } m & \text{Prime Factorization of } m \\ \hline 2 & 11 & 11 \\ \hline 3 & 111 & 3 \times 37 \\ \hline 4 & 1111 & 11 \times 101 \\ \hline 5 & 11111 & 41 \times 271 \\ \hline 6 & 111111 & 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \\ \hline 7 &1111111 & 239 \times 4649 \\ \hline 8 & 11111111 & 11 \times 73 \times 101 \times 137 \\ \hline 9 & 111111111 & 3^2 \times 37 \times 333667 \\ \hline 10 & 1111111111 & 11 \times 41 \times 271 \times 9091 \\ \hline 11 & 11111111111 & 21649 \times 513239 \\ \hline 12 & 111111111111 & 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 101 \times 9901 \\ \hline 13 & 1111111111111 & 53 \times 79 \times 265371653 \\ \hline \end{array}$

Ausgehend von dieser ersten Datenprobe prognostiziere ich die Wahrheit der folgenden Vermutungen:

VERMUTUNG 1: Wenn $n \equiv 0 \pmod 6$ , Dann $m$ ist quadratfrei.
VERMUTUNG 2: Wenn $n \equiv 0 \pmod 6$ , Dann $\bigg(3 \times 7 \times {11} \times {13} \times {37}\bigg) \mid m$ .
VERMUTUNG 3: Wenn $n \equiv 0 \pmod 3$ , Dann $\bigg(3 \times {37}\bigg) \mid m$ .

Ich habe die OEIS-Sequenz A002275 überflogen und keine Hinweise auf diese Vermutungen gefunden.

VERMUTUNGEN AUFLÖSEN 1

Ich habe mit Pari-GP in Sage Cell Server nach Gegenbeispielen zu Vermutung 1 gesucht , ich habe die folgende Ausgabe im Bereich erhalten $n \leq 50$ :

18[3, 2; 7, 1; 11, 1; 13, 1; 19, 1; 37, 1; 52579, 1; 333667, 1]
36[3, 2; 7, 1; 11, 1; 13, 1; 19, 1; 37, 1; 101, 1; 9901, 1; 52579, 1; 333667, 1; 999999000001, 1]
42[3, 1; 7, 2; 11, 1; 13, 1; 37, 1; 43, 1; 127, 1; 239, 1; 1933, 1; 2689, 1; 4649, 1; 459691, 1; 909091, 1; 10838689, 1]

Diese Ausgabe bedeutet das

$\dfrac{{10}^{18} - 1}{9}$ ist teilbar durch $3^2$ .
$\dfrac{{10}^{36} - 1}{9}$ ist teilbar durch $3^2$ .
$\dfrac{{10}^{42} - 1}{9}$ ist teilbar durch $7^2$ .

Ich schließe daher, dass Vermutung 1 falsch ist .

Mein Versuch, Vermutungen aufzulösen 2

Ich habe mit Pari-GP in Sage Cell Server nach Gegenbeispielen zu Conjecture 2 gesucht , ich habe eine leere Ausgabe im Bereich erhalten $n \leq {10}^5$ .

Der Pari-GP-Interpreter von Sage Cell Server stürzt ab, sobald ein Suchlimit von ${10}^6$ angegeben.

Dies liefert weitere rechnerische Beweise für Vermutung 2 .

MEIN VERSUCH, VERMUTUNGEN ZU LÖSEN 3

Ich habe mit Pari-GP in Sage Cell Server nach Gegenbeispielen zu Conjecture 3 gesucht , ich habe eine leere Ausgabe im Bereich erhalten $n \leq {10}^5$ .

Der Pari-GP-Interpreter von Sage Cell Server stürzt ab, sobald ein Suchlimit von ${10}^6$ angegeben.

Dies liefert weitere rechnerische Beweise für Vermutung 3 .

Leider bleibe ich hier hängen, da ich derzeit nicht weiß, wie ich die Vermutungen 2 und 3 beweisen soll.

ANFRAGE

Da Vermutung 1 falsch ist, kennen Sie eine (unbedingte) Kongruenzbedingung oder können Sie diese beweisen? $n$ die garantiert, dass die repunit $m$ ist quadratfrei?

Duchamp Gérard HE

(+1) Sehr gutes experimentelles Mathematikprotokoll. Danke

Peter

Es wird angenommen, dass die Bestimmung, ob eine Zahl quadratfrei ist, genauso schwierig ist wie das Faktorisieren. In den meisten Fällen können wir also nur zeigen, dass eine bestimmte Wiederholungseinheit nicht quadratfrei ist, aber wahrscheinlich nicht, dass sie quadratfrei ist. Mit einem kleinen Trick können wir jedoch Großes feststellen

n

$n$ Und

p

$p$ , ob wir haben

p^{2} ∣ R_{n}

$p^2\mid R_n$ . Beachte das für jede Primzahl

p > 5

$p>5$ , es gibt unendlich viele

n

$n$ mit

p^{2} ∣ R_{n}

$p^2\mid R_n$

José Arnaldo Bebita Dris

Ich habe auf dieser Wikipedia-Seite @miracle173 nach dem Schlüsselwort „repunit“ gesucht und ein leeres Ergebnis zurückgegeben.

José Arnaldo Bebita Dris

Würde es Ihnen etwas ausmachen, Ihren letzten Kommentar als tatsächliche Antwort zu konkretisieren, @Peter, damit ich ihn positiv bewerten kann? Danke!

Peter

@ArnieBebita-Dris Wenn

n > 3

$n>3$ prim ist, dann müssen die Primfaktoren die Form haben

k n + 1

$kn+1$ die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass

R_{n}

$R_n$ ist quadratfrei. Ob dies immer der Fall ist, ist eine andere interessante Frage.

José Arnaldo Bebita Dris

Danke für deine Zeit und Aufmerksamkeit, @Peter! Ich werde es von hier aus übernehmen.

Wunder173

@ArnieBebita-Dris Ich habe diesen Teil Ihres Beitrags falsch gelesen.

Antworten (4)

Über einige Vermutungen über Wiederholungen

Es wird angenommen, dass die Bestimmung, ob eine Zahl quadratfrei ist, genauso schwierig ist wie das Faktorisieren. In den meisten Fällen können wir also nur zeigen, dass eine bestimmte Wiederholungseinheit nicht quadratfrei ist, aber wahrscheinlich nicht, dass sie quadratfrei ist. Mit einem kleinen Trick können wir jedoch Großes feststellen $n$ Und $p$ , ob wir haben $p^2\mid R_n$ . Beachte das für jede Primzahl $p>5$ , es gibt unendlich viele $n$ mit $p^2\mid R_n$
Ich habe auf dieser Wikipedia-Seite @miracle173 nach dem Schlüsselwort „repunit“ gesucht und ein leeres Ergebnis zurückgegeben.
Würde es Ihnen etwas ausmachen, Ihren letzten Kommentar als tatsächliche Antwort zu konkretisieren, @Peter, damit ich ihn positiv bewerten kann? Danke!
@ArnieBebita-Dris Wenn $n>3$ prim ist, dann müssen die Primfaktoren die Form haben $kn+1$ die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass $R_n$ ist quadratfrei. Ob dies immer der Fall ist, ist eine andere interessante Frage.
Danke für deine Zeit und Aufmerksamkeit, @Peter! Ich werde es von hier aus übernehmen.
@ArnieBebita-Dris Ich habe diesen Teil Ihres Beitrags falsch gelesen.

Peter · Answer 1

Wenn $p$ ist eine Primzahl teilerfremd zu $10$ , wir haben

10^{P (P - 1)} \equiv 1 Mod P^{2}

$10^{p(p-1)} \equiv 1\mod p^2$ wegen des Satzes von Euler und daher

10^{k P (P - 1)} \equiv 1 Mod P^{2}

$10^{kp(p-1)} \equiv 1\mod p^2$ für jede positive ganze Zahl

k

$k$

Also für jede Primzahl $p>5$ , es gibt unendlich viele $n$ so dass $p^2\mid R_n$

Ob $p^2\mid R_n$ gilt für $p>5$ kann in PARI/GP mit überprüft werden

lift(Mod(10,p^2)^n-1)==0

Gregor Martin · Answer 2

Vermutung 2 lässt sich leicht anhand der Tatsache verifizieren, dass $u-1$ ist ein Faktor von $u^k-1$ , so dass $x^6-1$ teilt $x^{6k}-1$ , so dass $10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$ teilt $10^n-1$ Wenn $6$ teilt $n$ . Vermutung 3 ist ähnlich mit der $6$ s ersetzt durch $3$ S.

Aus ähnlichen Gründen ist Vermutung 1 falsch: falls vorhanden $\frac{10^m-1}9$ immer nicht quadratfrei ist, dann ist es ein Vielfaches $\frac{10^{6m}-1}9$ wird auch nonsquarefree sein. Die ersten Gegenbeispiele sind $\frac{10^{18}-1}9$ Und $\frac{10^{36}-1}9$ (beide teilbar durch $3^2$ ) Und $\frac{10^{42}-1}9$ (teilbar durch $7^2$ ).

Herrlich und elegant! Das habe ich ehrlich gesagt nicht kommen sehen, @GregMartin! In diesem Sinne vielen Dank für Ihre Zeit und Aufmerksamkeit.

Wunder173 · Answer 3

Die Vermutungen 2 und 3 sind ziemlich einfach zu beweisen. Allgemeiner gilt das Folgende

\begin{matrix} (1) & M (N) | M (k N) \end{matrix}

$m(n)|m(kn)\tag 1$

Zu bekommen $m(n)$ du hängst einfach a an $1$ auf der Ziffernfolge von $m(n−1)$ , So

M (N) = 10 M (N - 1) + 1

$m(n)=10m(n−1)+1$

Beachten Sie, dass

M (N) = \sum_{ich = 0}^{N - 1} 10^{ich}

$m(n)=\sum_{i=0}^{n-1}10^{i}$

also haben wir

M (k N) = \sum_{ich = 0}^{k N - 1} 10^{ich} = \sum_{J = 0}^{k} \sum_{ich = J N}^{N (J + 1) - 1} 10^{ich} = \sum_{J = 0}^{k} \sum_{ich = 0}^{N - 1} 10^{J N + ich} = \sum_{J = 0}^{k} 10^{J N} \sum_{ich = 0}^{N - 1} 10^{ich} = M (N) \sum_{J = 0}^{k} 10^{J N}

$m(kn)=\sum_{i=0}^{kn-1}10^i =\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=jn}^{n(j+1)-1}10^i =\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}^{n-1}10^{jn+i}=\sum_{j=0}^{k}10^{jn}\sum_{i=0}^{n-1}10^{i}=m(n)\sum_{j=0}^{k}10^{jn}$ was beweist

(1)

$(1)$ .

mathlove · Answer 4

Längen von nicht quadratfreien Reunits legen dies nahe

\frac{10^{9 k} - 1}{9}, \frac{10^{22 k} - 1}{9}, \frac{10^{42 k} - 1}{9}, \frac{10^{78 k} - 1}{9}, \frac{10^{111 k} - 1}{9}, \frac{10^{205 k} - 1}{9}, \frac{10^{272 k} - 1}{9}

$\dfrac{10^{9k}-1}{9},\dfrac{10^{22k}-1}{9},\dfrac{10^{42k}-1}{9},\dfrac{10^{78k}-1}{9},\dfrac{10^{111k}-1}{9},\dfrac{10^{205k}-1}{9},\dfrac{10^{272k}-1}{9}$ wo nicht platzfrei sind

k

$k$ ist eine positive ganze Zahl.

$\dfrac{10^{9k}-1}{9},\dfrac{10^{22k}-1}{9},\dfrac{10^{42k}-1}{9},\dfrac{10^{78k}-1}{9}$ sind da nicht quadratfrei

3^{4} ∣ 10^{9} - 1, 11^{2} ∣ 10^{22} - 1, 7^{2} ∣ 10^{42} - 1, 13^{2} ∣ 10^{78} - 1

$3^4\mid 10^9-1,\quad 11^2\mid 10^{22}-1,\quad 7^2\mid 10^{42}-1,\quad 13^2\mid 10^{78}-1$ halten.

@Arnie Bebita-Dris: Ich weiß es nicht. Vielleicht, weil meine Antwort nicht versucht, Ihre Vermutungen zu beweisen. Ich weiß, dass es Ihnen hilft, Ihre Vermutungen zu beweisen, aber ich habe versucht, Ihre Frage zu beantworten, weil das die Frage war.

Über einige Vermutungen über Wiederholungen

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