Beweisen Sie, dass (kn)!(kn)!(kn)! durch (k!)n(k!)n(k!)^n teilbar ist

$k!|(1.2.3.\dots k)$

$k!|(k+1).(k+2)\dots(2k )$

und so weiter bis,

$k!|((n-1)k+1)((n-1)k+2)\dots (nk)$

also haben wir das ergebnis.

Wir wissen, dass die Anzahl der Möglichkeiten der Wahl$k$Objekte aus einer Sammlung von$n$($n\ge k$) identische Objekte ist$n \choose k$(es ist leicht zu beweisen), was von der Definition her eine ganze Zahl ist.

Aber$\displaystyle {n\choose k}=\frac{(n-k+1).(n-k+2)\dots (n)}{k!}$

Daraus können wir schließen, dass jedes Produkt von k aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen durch teilbar ist$k!$

Sie haben vielleicht noch keine Gruppentheorie gemacht, aber hier ist es möglich, den Satz von Lagrange zu verwenden, um das gewünschte Ergebnis (und ein etwas stärkeres) zu beweisen. Der Satz von Lagrange besagt, dass die Ordnung einer Untergruppe$H$einer endlichen Gruppe$G$teilt die Reihenfolge von$G$- Es ist eines der grundlegendsten und wichtigsten Theoreme in der endlichen Gruppentheorie.

Eine wichtige endliche Gruppe ist die symmetrische Gruppe$S_{m},$die Gruppe aller möglichen Permutationen von$m$Objekte, mit Gruppenoperationszusammensetzung. Die symmetrische Gruppe$S_{nk}$hat eine Untergruppe, die das direkte Produkt von ist$n$Kopien von$S_{k},$bei dem die$i$-ter Faktor ist die Gruppe aller Permutationen von$\{1+(i-1)n, \ldots, k +(i-1)n \}$(Befestigung aller verbleibenden Punkte). Diese Untergruppe (dh das gesamte direkte Produkt) hat eindeutig Ordnung$(k!)^{n},$Der Satz von Lagrange gibt also das, was Sie wollen.

Tatsächlich können wir es ein bisschen besser machen. Es gibt eine Untergruppe$S_{k} \wr S_{n}$von$S_{kn}$, die dieses direkte Produkt als "Basisgruppe" hat, und dann permutieren wir diese$n$Blöcke von Größe$k$um als$S_{n}$tut (Behandlung der Blöcke der Größe$k$als „Punkte“). Diese Gruppe ist immer noch eine Untergruppe von$S_{kn},$und ist die größte Untergruppe von$S_{kn}$die die gewählte Zerlegung in bewahrt$n$Blöcke von Größe$k.$Es hat Ordnung$n!(k!)^{n}.$Daher ist es tatsächlich so$n!(k!)^{n}$teilt$(nk)!$.

Eine Antwort wurde bereits gegeben. Hier ist noch eins:

$$\frac{(k\cdot n)!}{(k!)^n}=\binom{k\cdot n}{k,k,\ldots,k}$$ (mit $n$Vorkommen von $k$rechts) ist ein Multinomialkoeffizient , bekannt als ganze Zahl.

Allgemeiner,

$$\binom{k_1+k_2+\cdots+k_n}{k_1,k_2,\ldots,k_n} =\frac{(k_1+k_2+\cdots+k_n)!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_n!}$$ ist die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten $n$Teilmengen $S_1$, …, $S_n$aus einem Satz von $k_1+k_2+\cdots+k_n$Mitglieder, mit $S_j$Kardinalität haben $k_j$.

Sie können dies durch direktes kombinatorisches Denken erkennen: Sie können eine solche Auswahl spezifizieren, indem Sie einfach das große Set bestellen und dann nehmen$S_1$der Erste zu sein$k_1$Mitglieder in der Bestellung, und so weiter. Es gibt$(k_1+k_2+\cdots+k_n)!$dazu, aber dann hast du dich um einen Faktor überschätzt$k_1!\cdot k_2!\cdots k_n!$, seit dem Permutieren der Mitglieder von any$S_j$verändert die Auswahl nicht.