Beziehung zwischen Dirichlets Approximationssatz und Konvergenten

Drei Ergebnisse fassen zusammen, wie gut Kettenbrüche beim Annähern sind. Hier, nehme das an$\frac{p_0}{q_0}, \frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2}, \dots$sind die Kettenbruch-Annäherungen an$r \notin Q$.

1. Die Aussage, die Sie zitieren: für alle$n \in \mathbb N$,$|r - \frac{p_n}{q_n}| < \frac1{q_n^2}$.
2. Satz von Legendre: Wenn$|r - \frac pq| < \frac1{2q^2}$, Dann$\frac pq = \frac{p_n}{q_n}$für einige$n \in \mathbb N$.
3. Satz von Hurwitz: Es gibt unendlich viele$n \in \mathbb N$so dass$|r - \frac{p_n}{q_n}| < \frac1{\sqrt5 q_n^2}$. (Insbesondere gibt es einen solchen Wert von$n$zwischen drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen).

Es gibt jedoch andere Näherungen, die für Dirichlet gut genug sind, für Legendre jedoch nicht gut genug. Wie in den Kommentaren von @halbaroth ausgeführt, gibt es ein viertes Ergebnis, das solche Annäherungen charakterisiert:

4. Satz von Fatou: Wenn$|r - \frac pq| < \frac1{q^2}$, Dann$\frac pq \in \{ \frac{p_n}{q_n}, \frac{p_{n+1}+p_n}{q_{n+1}+q_n}, \frac{p_{n+2}-p_{n+1}}{q_{n+2}-q_{n+1}}\}$für einige$n \in \mathbb N$.

Die Intuition hier ist, dass die Kettenbruch-Approximationen die Rekursion erfüllen$\frac{p_n}{q_n} = \frac{a_n p_{n-1} + p_{n-2}}{a_n q_{n-1} + q_{n-2}}$. So erhalten wir oft einige zusätzliche Annäherungen auf dem Weg durch Ersetzen$a_n$mit etwas$k \in \{1, 2, \dots, a_n -1\}$. Dies sind alles gute Annäherungen, aber die einzigen, die Fatous Standards erfüllen, sind$k=1$Und$k = a_n - 1$: diejenigen, die am nächsten sind$\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$oder$\frac{p_n}{q_n}$.

Zum Beispiel nähern sich die ersten paar fortgesetzten Brüche an$\sqrt{2}$Sind

Im Fall von$\sqrt2$, der Fehler$|\sqrt2 - \frac pq|$fällt ungefähr aus$\frac1{2\sqrt2 q^2}$für die Brüche in schwarz und ungefähr$\frac1{\sqrt2 q^2}$für die Brüche in Rot, also sind alle gut genug.

Das muss nicht passieren; im Fall von$\pi$z.B. dazwischen$\frac{22}{7}$Und$\frac{333}{106}$Wir haben eine Folge von Näherungen$\frac{25}{8}, \dots, \frac{311}{99}$. Fatou verspricht uns, dass nur der Erste und der Letzte eine Chance haben, gut zu werden, aber tatsächlich,$|\pi - \frac{25}{8}| \approx \frac{1}{0.94 \cdot 8^2}$Und$|\pi - \frac{311}{99}| \approx \frac1{0.57 \cdot 99^2}$: weder ist gut genug. Fatou verspricht nicht, dass irgendeine dieser Annäherungen die Ungleichung erfüllen wird$|r - \frac pq| < \frac1{q^2}$- nur dass nichts anderes wird.

Außerdem die Annäherungen$\frac{p_{n+1}+p_n}{q_{n+1}+q_n}$Und$\frac{p_{n+2}-p_{n+1}}{q_{n+2}-q_{n+1}}$kann in einigen Fällen willkürlich nahe an die Konstante des Satzes von Legendre herankommen. Berücksichtigen Sie dazu$x = 50 + 5\sqrt{102}$: Dies hat eine fortgesetzte Brucherweiterung$[100;2,100,2,100,2,\dots]$. (Ich hoffe, es ist klar, wie ich auf dieses Beispiel gekommen bin.) Zwei aufeinanderfolgende Kettenbruch-Annäherungen an$x$Sind$\frac{40601}{404}$Und$\frac{4080300}{40601}$. Das erste ist sehr gut:$404^2|x - \frac{40601}{404}| \approx \frac{1}{101}$. Der zweite davon ist immer noch anständig:$40601^2|x-\frac{4080300}{40601}| \approx \frac1{2.02}$. Nun, wenn wir diese zusammenzählen, ergibt sich das Ergebnis$\frac{4120901}{41005}$ist fast so gut:$41005^2|x - \frac{4120901}{41005}| \approx \frac1{1.98}$.

Die obige Antwort ist großartig; Ich wollte es nur etwas prägnanter zusammenfassen:

1. Die Antwort auf meine ursprüngliche Frage ist nein. Dafür kann es "False Positives" geben$|r - p/q| < 1/q^2$, die aber nicht konvergieren. Ein Beispiel ist, wenn wir versuchen, uns anzunähern$\log_2(3/2)$, Das$10/17$hat die erforderliche Eigenschaft, ist aber nur halbkonvergent. Das ist also notwendig, aber nicht ausreichend.

2. Ich habe auch darüber gesprochen, wie wenn$|r - p/q| < 1/(2q^2)$, dann wissen wir, dass wir eine Konvergenz haben. Das geht auch nicht andersherum, denn jetzt kann es zu „False Negatives“ kommen. Ein weiteres gutes Beispiel ist$24/41$, die auch konvergent von ist$\log_2(3/2)$die aber nicht die erforderliche Eigenschaft hat. Das ist also ausreichend, aber nicht notwendig, und jetzt erhalten wir "falsche Negative", wenn wir nach Konvergenten suchen.

3. Es gibt ein wichtiges Ergebnis von Fatou, das im Grunde besagt, leicht paraphrasierend, dass, wenn wir es haben$|r - p/q| < 1/(2q^2)$, was wiederum ausreichend, aber nicht notwendig ist, sind die "zusätzlichen" Rationalen, die diese Eigenschaft erfüllen und nicht konvergent sind, alle Halbkonvergenten, die direkt an einige Konvergente angrenzen.

4. Ich hatte auf etwas Magie gehofft$k$so dass, wenn der Fehler kleiner als ist$1/(kq^2)$, das ist notwendig und ausreichend, um es zu einer Konvergenz zu machen. Aber es scheint, dass Nicht-Konvergente dem willkürlich nahe kommen können$1/(2q^2)$gebunden, und wenn man in die andere Richtung geht, können Konvergenten beliebig nahe an die herankommen$1/(q^2)$gebunden.