Ägyptische Bruchreihen für 9970−2–√9970−2\frac{99}{70}-\sqrt{2}

Diese Frage wird durch Reihen motiviert, die bei der Beantwortung von Wie wird die Sequenz 1, 1.4, 1.41, 1.414 generiert?

Eine schnelle Serie für 2 ist durch den in Wikipedia erwähnten ägyptischen Bruch gegeben

2 = 3 2 − 1 2 ∑ N = 0 ∞ 1 A ( 2 N ) = 3 2 − 1 2 ( 1 6 + 1 204 + 1 235416 + … )

mit Nennern definiert durch 2 N Terme einer Rekursionsrelation zweiter Ordnung

A ( N ) = 34 A ( N − 1 ) − A ( N − 2 )
mit A ( 0 ) = 0 , A ( 1 ) = 6 ( OEIS-Sequenz A082405 ).

Die entsprechende geschlossene Form ist

2 = 3 2 − ∑ k = 0 ∞ 2 2 ( 17 + 12 2 ) 2 k − ( 17 − 12 2 ) 2 k

wie in dieser Antwort erhalten .

Eine ähnliche Reihe scheint ausgehend von der engeren Konvergenz zu existieren 99 70 , denn bei der Anwendung der babylonischen Methode ausgehend von 7 5 ergibt sich folgende Reihenfolge:

7 5 , 99 70 , 19601 13860 , 768398401 543339720 , 1180872205318713601 835002744095575440 , . . .

und die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Näherungen hat einen Einheitszähler, obwohl die Brüche keine aufeinanderfolgenden Konvergenten sind, so ähnlich haben wir

2 = 99 70 − 1 13860 − 1 543339720 − 1 835002744095575440 − . . .

Gibt es eine zugrunde liegende Wiederholung, die abgetastet werden kann, um die Nenner dieser negativen Brüche zu erhalten?

Nach der Antwort

Formeln für 3 2 − 2 (Frage) und 10 7 − 2 (aus der Antwort) kann in Bezug auf das Silberverhältnis und den Index ab geschrieben werden 0 .

2 = 3 2 − ∑ k = 0 ∞ 2 2 ( 1 + 2 ) 2 k + 2 − ( 1 − 2 ) 2 k + 2

2 = 10 7 − ∑ k = 0 ∞ 2 2 ( 1 + 2 ) 3 · 2 k + 1 − ( 1 − 2 ) 3 · 2 k + 1

Verwandte Fragen

Zahlen P − Q Haben Sie regelmäßige ägyptische Brucherweiterungen?

Newtons Methode für Quadratwurzeln „springt“ durch die Kettenbruchkonvergenten .

Antworten (1)

Wir wenden das Mapping wiederholt an A B → 1 2 ( A B + 2 B A ) = A 2 + 2 B 2 2 B A .

So A ( N + 1 ) = A ( N ) 2 + 2 B ( N ) 2 Und B ( N + 1 ) = 2 A ( N ) B ( N ) .

Da ist ein Muster drin B ( N ) . Fortsetzung des Musters: B ( N + 2 ) = 2 A ( N + 1 ) 2 A ( N ) B ( N ) .

Allgemein, B ( N ) = 5 ⋅ 2 N − 1 ∏ k = 1 N − 1 A ( k ) .

Wie Sie bemerkt haben, in A 2 + 2 B 2 2 B A − A B = 2 B 2 − A 2 2 B A wir haben 2 B 2 − A 2 = − 1 .

A ( N + 1 ) = A ( N ) 2 + 2 B ( N ) 2 = A ( N ) 2 + A ( N ) 2 − 1 = 2 A ( N ) 2 − 1 .

Wir haben A ( N ) = cos ⁡ ( 2 N − 2 cos − 1 ⁡ ( 99 ) ) für N > 1 .

Allerdings merke ich das alles B sind in der Tat Pell-Nummern P ( 6 ) , P ( 12 ) , P ( 24 ) , … P ( 6 ⋅ 2 N ) .

Damit haben wir eine Formel für B :

B ( N ) = 2 4 ( ( 7 + 5 2 ) 2 N − 1 − ( 7 − 5 2 ) 2 N − 1 )

Ich glaube nicht, dass die 7 Und 5 Konstanten in der Formel sind Zufall.

Ägyptische Bruchreihen für 9970−2–√9970−2\frac{99}{70}-\sqrt{2}
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v