Angesichts
SP= 2∑n = 0P( -1 _)NR( k + n ) αjk + nΓ ( k )n !θk + n( k + n )( ( k + n ) α + 2 )
lassen
x =jθRa
zu machen
SP=2Γ ( k )∑n = 0P( -1 _)NX( k + n )n !( k + n )( ( k + n ) α + 2 )
welche machen
S∞= 1 −Γ ( k , x )Γ ( k )+Γ ( k +2a, x ) − Γ ( k +2a)Γ ( k )X− 2 / α
Unter Verwendung Ihrer Nummern geben Sie dies an
S∞= 0,89
(mit
55
nachlaufend
0
'S).
Jetzt,SP
schreiben in Bezug auf2F2( . )
hypergeometrische Funktionen und wahrscheinlich ist dies die Schwierigkeit aus numerischer Sicht. Die Terme sind von Anfang an extrem schwankend (sie sind negativ für ungerade Werte vonP
und positiv für gerade Werte vonP
). Für die ersten
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜P012345678910SP+ 3,05072 ×1025− 5,01200 ×1027+ 4,13536 ×1029− 2,28392 ×1031+ 9,49546 ×1032− 3,16900 ×1034+ 8,84121 ×1035− 2,12041 ×1037+ 4,46180 ×1038− 8,36644 ×1039+ 1,41526 ×1041⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Fahren Sie mit geraden Werten von fortP
, werden wir feststellen, dass sie beginnen abzunehmen
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1020304050607080901001101201301401501601701801902003004005006001,41526 ×10414,48410 ×10519,94112 ×10598,48485 ×10666,33071 ×10726,71603 ×10771,39937 ×10827,21169 ×10851,09282 ×10895,57116 ×10911,06427 ×10948,32196 ×10952,86727 ×10974,63325 ×10983,70455 ×10991,53530 ×101003,43503 ×101004,30083 ×101003,11128 ×101001,33820 ×101001,19093 ×10862,52084 ×10576,78163 ×10170,89000⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Um das zu erklären, müssen wir für Ihre Zahlen rechnenP
so dass
Qp + 1=(200011)p + 2120 ! ( p + 21 ) ( p + 22 ) ( p + 1 ) !≤ ϵ
DerQp + 1
Laufzeit geht durch ein Maximum beip = 179,5
(siehe Tabelle !) und für diesen WertQp + 1= 8,61902 ×10100
.
Fürϵ =10− 20
,wir brauchenp = 581
(sogar fürϵ =10− 2
,p = 544
).
Eine grobe Schätzung vonP
wird von gegeben
p = −Protokoll( ϵ )W( -112000 eProtokoll( ϵ ) )
Wo
W( . )
ist die Lambert-Funktion.
Für den allgemeinsten Fall und eine bessere Näherung, indem wir Logarithmen nehmen und die Stirling-Näherung für den allerersten Term verwenden, beenden wir mit der Gleichung
p log( e x ) − ( p +32) anmelden( p ) = KWoK= anmelden(π−−√ϵX− ( k + 1 )Γ ( k )a2–√)
Seit
P
groß ist, könnten wir die Gleichung durch approximieren
( p +32) anmelden( e x ) − ( p +32) anmelden( p +32) =K
für die die Lösung als Lambert-Funktion angegeben ist
p = −KW( -Ke x)−32
Angewendet auf den Arbeitsfall ergibt sich
p = 599
für
ϵ =10− 20
.
Ich denke, dass alles erklärt ist.
Bearbeiten
In Anbetracht des allgemeinen Begriffs
AN=X( k + n )n !( k + n )( ( k + n ) α + 2 )
und unter Verwendung der logarithmischen Differenzierung haben wir
∂AN∂N= 0
Wenn
− 2 α ( k + n ) − ( k + n ) ψ ( n + 1 ) ( α ( k + n ) + 2 ) + ( k + n ) log( x ) ( α ( k + n ) + 2 ) − 2 = 0
Vorausgesetzt, dass
N
groß ist, ist die Erweiterung der oben genannten Menge
a log(XN)N2+ ( 2 ( α k + 1 ) log(XN) −5 a2) n+⋯
So
AN
ist maximiert für
n ∼ x
.
Unter Verwendung Ihrer Zahlen, einer rigorosen Maximierung vonAN
zeigt, dass es bei passiertn = 179,5
(erinnere dich daranx =200011= 181,8
) wofürAN= 5,24 ×10117
.
Wilhelm
Claude Leibovici
Wilhelm
Wilhelm
Wilhelm
Claude Leibovici