Grenzen für ein unendliches Produkt beweisen

Lassen$f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$, Wo$x \in \mathbb{R}$

Seit$f$ist kontinuierlich, abnehmend und positiv für alle Werte von$x >3$. Dann können wir die Restschätzung für den Integraltest anwenden. Also haben wir per Definition:

$$\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx + S_n \leq S \leq \int_n^{\infty}f(x)dx + S_n \ \ \ (*)$$

Beachten Sie, dass$P_n = e^{S_n}$, Wo$S_n = \sum_{k=2}^n \frac{\ln k}{k^2}$

Daher seit$e$ist immer zunehmende Funktion, wir können multiplizieren$e$Zu$(*)$. Somit erhalten wir:

$$\normalsize e^{\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx + S_n} \leq P \leq e^{\int_n^{\infty}f(x)dx + S_n}$$ In Betracht ziehen $n =5$. Mit Hilfe von Computersoftware haben wir das: $2.488472296≤p≤2.633367180$.

Hier ist ein Gedanke. Notiz

$$\log p_n = \sum_{k=2}^n \frac{\log k}{k^2}.$$ Interessanterweise gibt Mathematica dafür den geschlossenen Formwert an: $$p = \left(\frac{G^{12}}{2\pi e^{\gamma}}\right)^{\pi^2/6},$$ Wo $G \approx 1.28243\ldots$ist die Glaisher-Konstante, und $\gamma = \lim_{n \to \infty} H_n - \log n \approx 0.577216\ldots$die Eulersche Gammakonstante ist.

Aber wenn Sie nur Grenzen bekommen wollen, würde ich versuchen, die Reihenkonvergenz irgendwie zu verbessern oder eine integrale Annäherung zu verwenden.

Kurz gesagt, nehmen Sie Protokolle. Dann müssen Sie die Serie finden und begrenzen

$$\sum_{n \geq 2} \frac{\log n}{n^2},$$

die ziemlich schnell konvergiert. Der Fehler bei der Verwendung der ersten$N$Bedingungen werden ungefähr sein$1/N$, so dass die Verwendung der ersten 20 Terme zum Beispiel ausreicht, um Ihre Ungleichungen zu beweisen.