Asymptotische Entwicklung von exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Question

Asymptotische Entwicklung von exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Infinitesimalrechnung
Mathematik
Realanalyse
Taylor-Erweiterung
Folgen-und-Serien
hypergeometric-function

PRJ

Ich habe versucht zu expandieren

\exp (- π \frac{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; 1 - X)}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)})

$\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)$

in Bezug auf die Befugnisse von $x$ .

Was ich versucht habe: Ich habe versucht, Taylors Serienerweiterung zu finden, aber ich bin immer noch nicht in der Lage, das alles durchzugehen

PRJ

Englisch ist nicht meine Muttersprache, also vernachlässige bitte die Grammatik

Ich_weiß_mathe_nicht_

Gibt es

π

$\pi$ oder

π^{2}

$\pi^2$

PRJ

@I_don't_know_maths_ korrigiert

Antworten (2)

Asymptotische Entwicklung von exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Englisch ist nicht meine Muttersprache, also vernachlässige bitte die Grammatik

Ich_weiß_mathe_nicht_ · Answer 1

\begin{aligned} \exp (- π \frac{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1 - X)}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)}) & = \exp (- \ln (\frac{16}{X}) + \frac{4 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}} \sum_{J = 1}^{k} \frac{1}{(2 J - 1) (2 J)} X^{k}}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)}) \\ = \frac{X}{16} \exp (\frac{\frac{X}{2} + \frac{21}{64} X^{2} + . . .}{1 + \frac{X}{4} + \frac{9}{64} X^{2} + . . .}) \\ = \frac{X}{16} \exp (\frac{1}{2} X + \frac{13}{64} X^{2} + . . .) \\ = \frac{X}{16} (1 + \frac{1}{2} X + \frac{13}{64} X^{2} + . . . \frac{1}{2} {(\frac{1}{2} X + \frac{13}{64} X^{2} + . . .)}^{2} + . . . . .) \end{aligned}

$\begin{align*} \exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12;1;1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right) & = \exp\left(-\ln\left(\frac{16}x\right) + \frac{4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_k^2}{(k!)^2}\sum_{j = 1}^k\frac1{(2j-1)(2j)}x^k}{_2F_1(\frac12,\frac12;1;x)}\right)\\ & = \frac x{16}\exp\left(\frac{\frac x{2} + \frac {21}{64}x^2 +...}{1 + \frac x{4} + \frac 9{64}x^2 +...}\right)\\ & = \frac x{16}\exp\left(\frac 12x + \frac{13}{64}x^2 +...\right)\\ & = \frac x{16}\left(1 + \frac 1{2}x + \frac {13}{64}x^2 +...\frac12\left(\frac12x + \frac{13}{64}x^2 + ...\right)^2 + .....\right) \end{align*}$

Dies ist jedoch eine hochkomplexe Serie, die in der Macht steht $x$ .

\begin{aligned} _{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1 - X) & = \frac{1}{π} [- \ln X \times_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X) - 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}} (ψ (k + \frac{1}{2}) - ψ (k + 1)) X^{k}] \\ = \frac{1}{π} [-_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X) \times \ln X - 2 (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}}) (2 \sum_{J = 1}^{k} \frac{1}{2 J - 1} - 2 \ln 2 - \sum_{J = 1}^{k} \frac{1}{J}) X^{k}] \\ = \frac{1}{π} [_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X) \ln (\frac{16}{X}) - 2 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}} \sum_{J = 1}^{k} \frac{1}{J (2 J - 1)} X^{k}] \end{aligned}

$\begin{align*} _2F_1(\frac12, \frac12;1;1-x) & = \frac1\pi\left[-\ln x \times_2F_1\left(\frac12, \frac12;1;x\right) - 2\sum_{k = 0}^{\infty}\frac {(\frac12)_k^2}{(k!)^2}\left(\psi(k + \frac12) - \psi(k + 1)\right)x^k\right]\\ & = \frac1\pi\left[-_2F_1\left(\frac12, \frac12;1;x\right)\times \ln x -2\left(\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(\frac12)_k^2}{(k!)^2}\right)\left(2\sum_{j = 1}^k\frac1{2j-1} -2\ln2 -\sum_{j =1}^k\frac1j\right)x^k\right]\\ & = \frac1\pi\left[_2F_1\left(\frac12, \frac12;1;x\right)\ln\left(\frac{16}x\right) - 2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(\frac12)_k^2}{(k!)^2}\sum_{j = 1}^k \frac1{j(2j-1)}x^k\right] \end{align*}$

Wenn Sie neugierig genug sind, um zu erfahren, wie ich darauf gekommen bin $\ln(16/x)$ teile ich gerne?
Boah!! also hast du Log aus der HG-Serie genommen und $\ln(2^2*2/x)$
@ClaudeLeibovici Meine Güte, von Ihnen geschätzt zu werden, Sir! Ja, es ist nicht so glatt wie Taylors Serie und um ehrlich zu sein, konnte ich das nicht ausdrücken $\sum a_n x^n$
Nur aus Neugier: Wie veräppelst du den alten Mann? Im Ernst: Für mich sind wir alle gleich und teilen die gleiche Leidenschaft für Mathematik. Das ist es ! In Bezug auf das Problem vereinfacht es sich sehr, die elliptischen Integrale zu verwenden. Beifall :-)
@ClaudeLeibovici Danke! Aber ich scherze nicht mit einem alten Mann, ich höre gerne alten Menschen zu, ihren Erfahrungen, ihrem Leben und um viel zu lernen. Ich habe auch eine Ihrer Lösungen mit einem Lesezeichen versehen und habe auch geplant, Sie per E-Mail zu kontaktieren, wenn Sie möchten nichts dagegen? Prost:-) (Ich bin auch der Grund für diesen Prost:-))
Ich habe dich verarscht! Kontaktieren Sie mich jederzeit. Es wird mir ein Vergnügen sein.
Ich habe meine Antwort bearbeitet. Schau dir die Koeffizienten an. Beifall :-)
@ClaudeLeibovici Ich habe keine Worte dafür, wie Sie in OEIS zur Sequenz A002639 gekommen sind, aber danke, da ich mir bei den Koeffizienten meiner eigenen Antwort nicht sicher war, also habe ich es jetzt überprüft und bin glücklich!
@I_don't_know_maths_ Wie haben Sie diesen oeis.org/A002639-Link gefunden ??

Claude Leibovici · Answer 2

Das Problem vereinfacht sich sehr, da sich diese gaußschen hypergeometrischen Funktionen auf vollständige elliptische Integrale der ersten Art reduzieren

A =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; 1 - X) = \frac{2}{π} K (1 - X)

$A={}_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)=\frac{2 }{\pi }K(1-x)$

B =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; X) = \frac{2}{π} K (X)

$B={}_2F_1(\frac12, \frac12, 1; x)=\frac{2 }{\pi }K(x)$ Verwenden Sie also ihre Reihendarstellung

\frac{A}{B} = \frac{4 Protokoll (2) - Protokoll (X)}{π} - \frac{X}{2 π} - \frac{13 X^{2}}{64 π} - \frac{23 X^{3}}{192 π} - \frac{2701 X^{4}}{32768 π} - \frac{5057 X^{5}}{81920 π} - \frac{76715 X^{6}}{1572864 π} + Ö (X^{7})

$\frac A B=\frac{4 \log (2)-\log (x)}{\pi }-\frac{x}{2 \pi }-\frac{13 x^2}{64 \pi }-\frac{23 x^3}{192 \pi }-\frac{2701 x^4}{32768 \pi }-\frac{5057 x^5}{81920 \pi }-\frac{76715 x^6}{1572864 \pi }+O\left(x^7\right)$ Dann

\exp (- π \frac{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; 1 - X)}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)}) = \frac{X}{16} \sum_{N = 0}^{P} A_{N} X^{N} + Ö (X^{P + 1})

$\exp\left(-\pi\frac {{}_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)=\frac{x}{16} \sum_{n=0}^p a_n\,x^n+O(x^{p+1})$ und die erste

a_{n}

$a_n$ bilden die Folge

{1, \frac{1}{2}, \frac{21}{64}, \frac{31}{128}, \frac{6257}{32768}, \frac{10293}{65536}, \frac{279025}{2097152}, \frac{483127}{4194304}, \frac{435506703}{4294967296}, \dots}

$\left\{1,\frac{1}{2},\frac{21}{64},\frac{31}{128},\frac{6257}{32768},\frac{10293}{655 36},\frac{279025}{2097152},\frac{483127}{4194304},\frac{435506703}{4294967296},\cdots\right\}$

Die Zähler entsprechen der Sequenz $A002639$ In $OEIS$ und die Nenner sind $2^{b_n}$ bei dem die $b_n$ bilden die interessante Folge

{0, 1, 6, 7, 15, 16, 21, 22, 32, 33, 38, 39, 47, 48, 53, 54, 64, 65, 70, 71, 79, 80, 85, 86, 93, 94}

$\{0,1,6,7,15,16,21,22,32,33,38,39,47,48,53,54,64,65,70,71,79,80,85,86,93,94\}$

@PRJ. Konstruieren Sie die Reihe für $A$ Und $B$ unabhängig und lange Teilung. Dann multipliziere mit $-\pi^2$ ; Sie haben also die Reihe des Logarithmus des Ausdrucks. Verwenden Sie jetzt Taylor basierend auf der Tatsache, dass $Z=e^{\log(Z)}$

Asymptotische Entwicklung von exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

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Summe ∑∞n=0xnk(n+k)∑n=0∞xnk(n+k)\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Wenn lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 im Grenzverhältnistest, folgt daraus, dass die Reihe divergiert?

∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 und ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 konvergiert zeigen ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n konvergiert absolut

Reihe dieser Summe zu log(2)??

Test auf Konvergenz/Divergenz von ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sin\left(\frac{n}{\pi}\right)

Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

Taylor-Reihe von 2xex2xex2xe^x

Taylorreihe für x0+x1+x2+⋯−−−−−−√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√x0+ x1+x2+⋯\sqrt{x^0+\sqrt{x^1+\sqrt{x^2+\cdots}}}