∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 und ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 konvergiert zeigen ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n konvergiert absolut

Angesichts der Serie ∑ N = 1 ∞ A N 2 Und ∑ N = 1 ∞ B N 2 konvergieren. Zeigen Sie, dass die Serie ∑ N = 1 ∞ A N B N konvergiert absolut.

Meine Idee bisher:

  • Es ist ziemlich offensichtlich, dass beide gegebenen Reihen absolut konvergieren
  • Das sagt mir also das Cauchy-Produkt ∑ N = 1 ∞ A N 2 B N 2 = ∑ N = 1 ∞ ( A N B N ) 2 konvergiert absolut

An diesem Punkt bin ich hängen geblieben. Kann mir irgendwie ein Tipp geben wie ich das lösen kann?

Vielen Dank im Voraus!

Warum nennen Sie dieses Cauchy-Produkt ? So wie du es geschrieben hast, ist es viel einfacher.
Aus ( A − B ) 2 ≥ 0 , folgert man A B ≤ 1 2 ( A 2 + B 2 ) . Sie könnten dies und den Vergleichstest verwenden.
Mirko hat völlig Recht, Cauchy-Produkt war für etwas anderes reserviert, nicht willkürlich verwenden.

Antworten (3)

0 ≤ ( A + B ) 2 = A 2 + B 2 + 2 A B 0 ≤ ( A − B ) 2 = A 2 + B 2 − 2 A B Deshalb − 2 A B ≤ A 2 + B 2 , 2 A B ≤ A 2 + B 2 , und folglich 2 | A B | ≤ A 2 + B 2 .

So

∑ N | A N B N | ≤ 1 2 ( ∑ N A N 2 + ∑ N B N 2 ) < ∞ .

Ist die AM-GM-Ungleichheit nicht groß?

∑ | A N B N | ≤ ∑ B N 2 + ∑ A N 2

Spoiler:

Wenn | A N | ≤ | B N | Dann | A N ⋅ B N | ≤ B N 2 anders | A N ⋅ B N | ≤ A N 2 , So ∑ | A N B N | ≤ ∑ B N 2 + ∑ A N 2

Edit: Zweiter Spoiler (Komplettlösung mit allen Details):

Wenn | A N | ≤ | B N | Dann | A N ⋅ B N | ≤ B N 2 ≤ B N 2 + A N 2 anders | A N ⋅ B N | ≤ A N 2 ≤ A N 2 + B N 2 . Auf alle Fälle | A N ⋅ B N | ≤ B N 2 + A N 2 So ∑ | A N B N | ≤ ∑ ( B N 2 + A N 2 ) = ∑ B N 2 + ∑ A N 2 < ∞ .

Ich werde dies positiv bewerten, wenn Sie hinzufügen, was Sie zuvor in einem Kommentar gesagt haben.
@MichaelHardy danke
@Dr.MV Ich habe einen zweiten Spoiler mit allen Details hinzugefügt, um Fehlinterpretationen zu vermeiden
@ Mirko Ja! Das ist besser!!! Gut gemacht!
@ Mirko Keine Sorge. Ich hatte deinen hinzugefügten Spoiler nicht gelesen. Also Entschuldigung. Ich hoffe, Ihr Unterricht verlief gut und Sie haben Spaß am Unterrichten. - Markieren

HINWEIS:

Von Cauchy-Schwarz haben wir

∑ N = 1 N | A N B N | ≤ ( ∑ N = 1 N A N 2 ) ( ∑ N = 1 N B N 2 )

∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 und ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 konvergiert zeigen ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n konvergiert absolut
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