Summe ∑∞n=0xnk(n+k)∑n=0∞xnk(n+k)\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}

Lassen$P(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{k(n + k)}$.

Dann sehen wir das$x^{k} P(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{x^{n + k}}{k(n + k)}$.

Dann sehen wir das$\frac{d}{dx} x^k P(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{x^{n + k - 1}}{k} = \frac{x^k}{k} \sum\limits_{n = 1}^\infty x^{n - 1} = \frac{x^k}{k} \frac{1}{1 - x}$.

Nun im Allgemeinen die Menge$\frac{x^k}{k} \frac{1}{1 - x}$hat keine schöne Stammfunktion. In dem Fall jedoch$k$eine bekannte ganze Zahl ist, können wir explizit die Stammfunktion nehmen, um eine schöne geschlossene Form für zu erhalten$P(x)$.

Edit: Eigentlich wann immer$k$rational ist, können wir eine geschlossene Form für das Integral finden. Wenn$k = \frac{p}{q}$, dann können wir mit der Substitution fortfahren$u^q = x$um das Integral von zu erhalten$\frac{u^p}{k} \frac{1}{1 - u^q} q u^{q - 1}$, die eine rationale Funktion ist und daher mit der Partialbruchmethode integriert werden kann.

Im Allgemeinen muss man die Summe in Bezug auf die transzendente Lerch-Funktion ausdrücken. Aber dies ist im Wesentlichen nur eine Umformulierung der ursprünglichen Summe und bietet wenig Einblick.

Wie schon gesagt

$$f_k(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}=\frac 1k \Phi (x,1,k)$$ wo erscheint die transzendente Hurwitz-Lerch-Funktion.

Wenn$k$eine ganze Zahl ist, können Sie es schreiben als

$$f_k(x)=-\frac {x^{1-k}}k \Bigg[\frac{\log (1-x)}{x}+\sum_{n=1}^{k-1}\frac{x^{n-1}} n \Bigg]$$

Für den Fall wo$k$keine ganze Zahl ist, könnte Sie dieses Papier interessieren .

Mit dem Ansatz von @ Mark Saving können wir für den allgemeinsten Fall auch schreiben

$$f_k(x)=\frac{x }{k (k+1)}\, _2F_1(1,k+1;k+2;x)+\frac{1}{k^2}$$ wo erscheint die Gaußsche hypergeometrische Funktion und$k$kann eine beliebige Zahl sein.