Beste rationale Annäherung an ein Verhältnis von drei Zahlen x:y:zx:y:zx:y:z

Wenn ich ein Verhältnis von zwei positiven reellen Zahlen habe$x:y,$dann kann ich die "besten" rationalen Annäherungen daran finden, indem ich es als fortgesetzten Bruch schreibe (z. B. indem ich wiederholt den ganzzahligen Teil entferne und den Kehrwert des Rests nehme)

und dies ist eine "beste kleine" Annäherung in dem Sinne, dass jede engere rationale Annäherung$\frac{p'}{q'}$mit$\left|\frac{p'}{q'}-\frac xy\right|<\left|\frac pq-\frac xy\right|$hat$p'\ge p$Und$q'\ge q$. (Mindestens eine davon wird für ein bestimmtes Verhältnis streng sein.) Dieser Prozess erzeugt nicht die besten kleinen Annäherungen, aber eine Modifikation tut es.

Kürzlich wollte ich ein Verhältnis von drei Zahlen annähern$13780:8992:3364$, statt nur zwei. Mir wurde klar, dass ich nicht wusste, wie, daher diese Frage.

Wir sollten definieren, was eine "beste kleine" Annäherung in diesem 3D-Kontext ist. Um zu sagen, wie gut$p:q$ungefähr$x:y$, wir haben gerade gerechnet$|\frac pq-\frac xy|$. Um das zu verallgemeinern$p:q:r$Und$x:y:z$, ich denke , wir sollten dieser Antwort folgen . Wir behandeln sie als Vektoren im 3D-Raum und normalisieren sie auf die Einheitskugel. Dann können wir den Abstand zwischen diesen Projektionen finden. (Für den 2D-Fall glaube ich nicht, dass diese Definition die gleichen Zahlen ergibt, aber ich denke, dass sie die gleiche Reihenfolge ergibt.) Dann$p:q:r$ist eine beste kleine Annäherung an$x:y:z$wenn eine nähere Annäherung$p':q':r'$hat$p'\ge p,q'\ge q,r'\ge r$. (Kommentare zur Eignung dieser Definition willkommen.)

In meinem Einzelfall habe ich es etwas ad hoc gemacht , indem ich den kleinsten Teil des Verhältnisses aufgeteilt habe, um zu bekommen$4+\frac1{10+\ddots}:2+\frac1{2+\frac1{4+\ddots}}:1$, Abschneiden an der ersten bzw. zweiten Position, um zu erhalten$4:2+\frac12:1,$und dann mit dem gemeinsamen Nenner zu multiplizieren$8:5:2.$Durch die Aufzählung aller kleineren Verhältnisse finde ich, dass dies eine beste kleine Annäherung ist, aber mein Prozess erscheint nicht allgemein. ZB wenn ich stattdessen abschneide$4.1:2.5:1$und dann mit multiplizieren$41:25:10$, ich finde es eigentlich schlimmer als die kleinere (beste kleine) Annäherung$37:24:9$. Gibt es / was ist ein allgemeiner Prozess, um die besten kleinen Annäherungen an ein Verhältnis von drei (oder mehr) Zahlen zu finden? (Abgesehen davon, dass Sie nur alle kleinen Verhältnisse aufzählen und die besten nehmen.)