Wie man einen Tangentenkreis in einer numerischen Methode für komplexwertige Differentialgleichungen verwendet

Wenn Sie die Gleichung lösen

$$\frac{dz}{dt}=-i\omega z$$

mit Anfangswert$z(0)=1$du erhältst

$$z = e^{-i\omega t}$$

die mit Winkelgeschwindigkeit einen Kreis in der komplexen Ebene beschreibt$-\omega$. Wenn Sie versuchen, die Lösung mit der Euler-Methode zu approximieren, divergiert sie, weil

$$z_1 = z_0 + h(-i\omega)z_0 = (1-ih\omega)z_0$$

Und

$$|z_1| = |1-ih\omega| = \sqrt{1+(h\omega)^2}$$

für$h,\omega >0$. Ebenfalls$|z_{n+1}|>|z_n|$für jede$n\in\mathbb{N}$.

Ich versuche, Wege zu finden, dies zu beheben, so dass$|z_{n+1}| \leq |z_n|$und am besten gleichberechtigt. Ich habe versucht, den zweiten Term der Taylor-Reihe zu verwenden, damit die Annäherung nicht nur eine lineare Annäherung ergibt, aber das gleiche Problem bestand weiterhin.

Mir fällt ein, dass eine bessere Methode darin bestehen könnte, dies nicht mit einem Polynom, sondern mit einem Kreis zu approximieren. Ich erinnere mich an den Schmiegkreis aus Berechnung 3, aber das war für eine Kurve, deren Parametrisierung wir bereits kannten, also bin ich mir nicht sicher, ob ich das nutzen kann. Ein weiterer Gedanke ist das eher als das Schema

$$y_{n+1}=y_n+hy'_n$$

der sich bewegt$y_n$linear durch Addition eines Vielfachen von$h$, möchte ich vielleicht mit komplexer Multiplikation drehen, so etwas wie$z_{n+1}=z_nr_ne^{i\omega_nh}$Wo$r_n\in\mathbb{R}$wäre der Rotationsradius größer, wenn eine größere Krümmung angemessen ist, und$\omega_n$Kontrolle der Geschwindigkeit und Richtung - natürlich wieder$h$dient als Schrittweite. Ich müsste wahrscheinlich etwas tun, um das Problem der Lokalisierung des Rotationszentrums zu lösen.

Ich weiß, was ich getan habe, ist nicht ganz richtig, weil ich auch das Zentrum der Drehung berücksichtigen müsste, aber bevor ich diesen Weg einschlage, wollte ich wissen, ob das, was ich versuche, überhaupt praktikabel ist. Die große Hürde, die ich nicht ganz verstehe, ist, wie ich mich entscheiden könnte$r_n$Und$\omega_n$in jeder Phase, wobei nur die abgeleiteten Informationen verwendet werden. Wenn ich es richtig verstehe,$\frac{dz}{dt}$gibt nur die lineare Näherung der Richtung der komplexen Zahl, wie bei einem Vektor.