Beweisen Sie, dass es keine 5-stelligen EXTREME PRIMES gibt.

Ich habe in letzter Zeit versucht, meine eigenen mathematischen Probleme zu finden, und dies ist eines meiner ersten. Es führt die Idee einer extremen Primzahl ein. Ich hoffe, dass eine extreme Primzahl nicht schon eine Sache ist, weil ich den Namen nur verwendet habe, um eine spezielle Zahl zu beschreiben. Ich habe eine Lösung für das Problem, aber ich würde gerne intelligentere Lösungen sehen und Feedback zu dem Problem erhalten, damit ich in Zukunft bessere Lösungen entwickeln kann.

Eine extreme Primzahl ist eine Zahl, bei der jede Zahl innerhalb der Zahl eine Primzahl ist, abgesehen von einstelligen Zahlen, und die Zahl selbst eine Primzahl ist. Beispiele sind unten zur Verdeutlichung, da ich schlecht im Erklären bin.

Beispiele:

  • 617 ist eine Primzahl. Auch, 61 ist eine Primzahl und 17 ist eine Primzahl. Deshalb 617 ist eine extreme Primzahl. Notiz 6 zusammengesetzt ist: Die Ziffern müssen keine Primzahlen sein.

  • 1373 ist prim. Auch, 13 ist prim, 37 ist prim, 73 ist prim, 137 ist prim, 373 ist prim. Deshalb 1317 ist eine extreme Primzahl. Lustige Tatsache: 373 ist auch die einzige 3 digits extreme prime, wo die Ziffern Primzahlen sind, also muss es wohl Ultra-Prime sein.

Die Frage ist, zu beweisen, dass nein 5 Ziffer extreme Primzahl existiert. Ich freue mich auf Feedback und einige Möglichkeiten, wie ich formulieren kann, was eine extreme Primzahl ist, ich hoffe, es macht Spaß, es zu lösen.

Einige andere Tatsachen, die mir aufgefallen sind, als ich meinen Beweis mit Python überprüft habe (für den ich keinen Beweis habe): Sie können versuchen, sie zu beweisen.

  • A 3 Ziffer extreme Primzahl kann kein a enthalten 2 , 8 oder 5 .

  • A 4 Ziffer extreme Primzahl kann kein a enthalten 2 , 8 , 5 oder 4 .

  • A 4 digit extreme prime beginnt nie mit 7 .

Nicht wenige Superprimzahlen (Primzahlen, die Primzahlpositionen in der Folge aller Primzahlen einnehmen) sind extreme Primzahlen. Kannst du sie alle finden und den besten Zahlensatz aller Zeiten erstellen!

Das klingt eng verwandt mit "abschneidbaren" Primzahlen. Siehe zum Beispiel mathworld.wolfram.com/TruncatablePrime.html .
Die Leute beziehen sich auf kürzbare Primzahlen. Sie sind nicht gleich. Eine solche Zahl aus der Frage müsste rechts kürzbar, links schneidbar sein und Primzahlen in der Mitte der Ziffern haben. Nicht sicher, warum diese Fragen zusammenhängen? Wenn die Beweise mathematisch ähnlich sind, würde ich verstehen, ist dies der Fall?
@ScuffedNewton, Sie haben Recht, dass Ihre "extremen" Primzahlen nicht buchstäblich mit "abschneidbaren" Primzahlen identisch sind, aber sie sind eine Teilmenge der Schnittmenge der links- und rechtsabschneidbaren Primzahlen, und da diese Mengen beides sind endlich, ebenso die Menge der extremen Primzahlen.
Ich sollte hinzufügen, dass es möglich sein könnte, das gewünschte Ergebnis zu beweisen, ohne das zu verwenden, was über kürzbare Primzahlen bekannt ist. Ich möchte also nicht andeuten, dass es sich nicht lohnt, Ihre Vorstellung von "extremer" Primzahl zu verfolgen. Eigentlich eine nette Idee. Kudos für den Gedanken daran.
Mit Backtracking können wir wahrscheinlich alle solche Primzahlen finden. Ich glaube nicht, dass die Zahl solcher Primzahlen übertrifft 10 viel, wenn diese überhaupt erreicht wird.
@ Barry Cipra, dieser Link, den Sie angehängt haben, besagt, dass es eine begrenzte Anzahl rechts / links kürzbarer Primzahlen gibt. Sie sind auch nicht unbedingt Schnittpunkte, da die Ziffern keine Primzahlen sein müssen, daher können die erste und die letzte Ziffer zusammengesetzt sein, müssen aber Primzahlen sein, wenn sie kürzbar sein sollen. Eine andere Sache ist, dass, wenn wir die Zahl 1373 nehmen, keine kürzbare Bedingung erfordert, dass 37 eine Primzahl ist, aber die äußerste Primzahl tut es. Während einige Begriffe gleich sind, schließen die extremen Primzahlen aufgrund der obigen Punkte einige andere Begriffe ein oder aus.
@ Barry Cipra, also zum Beispiel 1373 ist rechts kürzbar, aber nicht links, aber extrem. 373 ist rechts kürzbar, links schneidbar und extrem. Einige Zahlen können links und rechts kürzbar sein, aber nicht extrem.
@ScuffedNewton, guter Punkt. Ich stehe korrigiert. Entschuldigung, ich hätte die Definitionen genauer vergleichen sollen.
@Peter, es gibt einige, ich weiß, es gibt keine 5 Ziffern, der Beweis bietet sich an zu sagen, dass 4 das Maximum ist. Alle zweistelligen Primzahlen sind laut Definition extrem, und einstellige Primzahlen können nicht extrem sein. Hier sind alle 3 und 4 Ziffern: 113 131 137 173 179 197 311 313 317 373 379 419 431 479 613 617 619 673 719 797 971, 1373, 3137, 3797, 6197, 6197, 61973, 61973
@ScuffedNewton 1373 IST linksabschneidbar. Ich nehme an, Sie meinten, 1373 ist nicht RICHTIG - abschneidbar, weil 1 offensichtlich nicht ist

Antworten (1)

Lassen P = D 1 D 2 … D N Bohne N -Ziffer Primzahl mit Ziffern D ich . Wir können eine "extreme" Primzahl rekursiv wie folgt definieren: If N = 2 , Dann P ist eine extreme Primzahl; Wenn N > 2 Dann P ist genau dann extrem, wenn die Kürzungen D 1 D 2 … D N − 1 Und D 2 … D N sind beides extreme Primzahlen.

Es ist nicht schwer zu sehen, dass es nur zehn sind 2 -stellige Primzahlen, die im Inneren von an vorkommen können N -stellige extreme Primzahl (mit N ≥ 4 , damit es ein richtiges "Innere" gibt):

11 , 13 , 17 , 19 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97

Jedes davon kann auf beiden Seiten verlängert werden, um a zu geben 3 -stellige äußerste Primzahl, aber nur sechs davon können auf beiden Seiten erweitert werden, um a zu ergeben 4 -stellige extreme Primzahl. Wie das OP berichtet, ist die 4 -stellige extreme Primzahlen sind

1373 , 3137 , 3797 , 6131 , 6197 , 9719

Die einzig mögliche Erweiterung zu a 5 -stellige Zahl, deren Kürzungen auf vier Stellen beide zu dieser Liste gehören, ist 31373 . (Zum Beispiel, 3797 kann nicht auf der linken Seite verlängert werden, da keine der 4 -stellige extreme Primzahlen sind von der Form D 1 379 , und es kann nicht auf der rechten Seite verlängert werden, da keine der 4 -stellige extreme Primzahlen sind von der Form 797 D 4 .) Aber 31373 = 137 ⋅ 229 ist keine Primzahl. Es gibt also keine 5 -stellige extreme Primzahlen (also keine extremen Primzahlen mit mehr als 5 auch Ziffern).

Bemerkung: Der schwierigste Teil dieses Beweises ist der Teil, den das OP getan hat, nämlich die Identifizierung der sechs 4 -stellige extreme Primzahlen. Ich sehe keinen einfachen Weg, ohne eine langwierige Fall-zu-Fall-Analyse zu diesen sechs zu gelangen. Wenn jemand eine nette Möglichkeit findet, die Dinge zu rationalisieren, würde ich mich freuen, sie zu sehen.

Beweisen Sie, dass es keine 5-stelligen EXTREME PRIMES gibt.
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