Beweisen Sie, dass es ohne den Satz von Dirichlet unendlich viele Primzahlen mit 666666666 in ihrer Dezimaldarstellung gibt.

Betrachten Sie den Satz$S$aller Zahlen ohne 666 in ihrem Basis-10-Ausdruck. Hier ist eine lustige Tatsache: die Summe$\sum_{s\in S} \frac{1}{s}$konvergiert. Es ist eigentlich ziemlich einfach zu beweisen, also belasse ich es als Übung (oder google "Kempner-Serie").

Andererseits besagt ein berühmtes Ergebnis von Euler, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert.

Lassen$x=666\cdot10^n$; es hat$n+3$Ziffern. Betrachten Sie das Intervall$(x,(1+1/666)x)=(666\cdot10^n,667\cdot10^n)$. Dann sagt der Primzahlsatz, dass es in diesem Intervall mindestens eine Primzahl gibt, wenn genügend groß ist$x$; eine solche Primzahl muss mit 666 beginnen und ist somit satanisch.

Verwenden Sie konkret Schoenfelds Ergebnis von 1976 , das für alle sagt$x\ge2010760$Da ist eine Primzahl drin$(x,(1+1/16597)x)$; Wir verlängern dieses Intervall auf die$1+1/666$Intervall oben. Es gibt also mindestens eine satanische Primzahl mit$n$Ziffern für$n\ge7$, und das Ergebnis ist bewiesen.