Gilt der Satz von Green-Tao für arithmetische Folgen von Zahlen, deren Möbiuswert μ(n)=−1μ(n)=−1\mu(n)=-1?

Ich lese die grundlegenden Konzepte des Green-Tao-Theorems (und lese auch die vorherigen Fragen bei MSE zu den Folgerungen des Theorems ). Laut Wikipedia lässt sich der Satz so formulieren: „Es gibt arithmetische Folgen von Primzahlen, mit k Bedingungen, wo k kann jede natürliche Zahl sein". Es gibt auch eine Erweiterung des Ergebnisses, um Polynomverläufe abzudecken.

Meine Frage ist sehr grundlegend, aber ich bin mir bei der Antwort darauf nicht sicher:

Wenn das Green-Tao-Theorem für Primzahlen gilt, dann gilt es automatisch für diejenigen Zahlen, deren Möbius-Funktionswert ist μ ( N ) = − 1 ?

So etwas wie (1): „Es gibt arithmetische Folgen von Zahlen, deren Möbius-Funktionswert ist μ ( N ) = − 1 , mit k Bedingungen, wo k kann jede natürliche Zahl sein"

Meine Vermutung ist, dass, wenn alle Primzahlen sind μ ( P ) = − 1 dann gilt der Satz auch für die Zahlen, deren μ ( N ) = − 1 (einschließlich Primzahlen und andere Zahlen).

Zumindest wenn die Primzahlen enthalten sind (1), dann nehme ich an, dass das (trivial?) wahr ist, aber ich bin mir nicht sicher, ob man sagen könnte (2), dass der Satz für Nicht-Primzahlen deren wahr wäre μ ( N ) = − 1 nur (etwas wie: "es ist möglich, jede Art von arithmetischer Folge von Nicht-Primzahlen zu finden, deren μ ( N ) = − 1 ").

Ich denke, dass (1) richtig sein könnte, aber (2) wäre falsch. Ist das richtig?

Danke schön!

(1) ist trivial impliziert, wie Sie vorschlagen, aber (2) ist nicht trivial impliziert. Allerdings wäre es sehr überraschend, wenn der Beweis von Green-Tao nicht auf Ihren Fall ausgedehnt werden könnte - wahrscheinlich sogar auf den Sonderfall (der Ihre Frage impliziert), der nur ganze Zahlen abdeckt, die das Produkt von drei verschiedenen Primzahlen sind .
@StevenStadnicki danke für den Kommentar! Es ist sehr interessant, was Sie über den Sonderfall dieser Fälle gesagt haben N das sind Produkte von drei verschiedenen Primzahlen.
@StevenStadnicki Da Sie sich die Zeit genommen haben, in den Kommentaren zu antworten, darf ich Sie bitten, dies zu einer Antwort hinzuzufügen, um die Frage zu akzeptieren und zu schließen? (oder wenn es Ihnen nichts ausmacht, dann werde ich es hinzufügen und schließen), danke!

Antworten (1)

Ich werde hier die Kommentare von Steven Stadnicki als Antwort hinzufügen, daher wird die Frage in einigen Tagen geschlossen (falls keine anderen Antworten kommen):

(1) ist trivial impliziert, wie Sie vorschlagen, aber (2) ist nicht trivial impliziert. Allerdings wäre es sehr überraschend, wenn der Beweis von Green-Tao nicht auf Ihren Fall ausgedehnt werden könnte - wahrscheinlich sogar auf den Sonderfall (der Ihre Frage impliziert), der nur ganze Zahlen abdeckt, die das Produkt von drei verschiedenen Primzahlen sind . –

(2) ist trivial impliziert. Wenn P 1 , P 2 , … , P k ist eine arithmetische Folge von Primzahlen der Länge k , Und N > 1 ist eine ganze Zahl mit μ ( N ) = 1 Und ( N , P 1 P 2 … P k ) = 1 , Dann N P 1 , N P 2 , … , N P k ist eine arithmetische Folge von Nicht-Primzahlen der Länge k mit μ ( N P ich ) = − 1 für alle ich .
Gilt der Satz von Green-Tao für arithmetische Folgen von Zahlen, deren Möbiuswert μ(n)=−1μ(n)=−1\mu(n)=-1?
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