Warum taucht die Primzahl 23#23#23\# so oft in langen Primzahl-Arithmetikfolgen auf?

Dieser Abschnitt des Wikipedia-Artikels über das Green-Tao-Theorem gibt Beispiele für die längsten bekannten arithmetischen Folgen von Primzahlen. Für jede bekannte arithmetische Folge von 24 oder mehr aufeinanderfolgende Primzahlen, die gemeinsame Differenz ist ein Vielfaches der Primzahl 23 # = 223 , 092 , 870 (das Produkt aller Primzahlen bis zu 23 ).

Ist es ein Zufall, dass 23 ist die größte Primzahl kleiner als die Länge der langen Sequenzen? Mit genügend Rechenleistung würden wir schließlich erwarten, arithmetische Folgen von zu finden 29 oder mehr Primzahlen, deren gemeinsame Differenzen Vielfache von sind 29 # ? Wenn nicht, gibt es etwas Besonderes an der Nummer 23 # , oder spiegelt es einfach die Grenzen unserer Rechenleistung wider?

Um die letzte Frage des OP zu beantworten: Ja, aus der Antwort von Hagen von Eitzen folgt, dass eine arithmetische Folge von 29 oder mehr Primzahlen eine gemeinsame Differenz haben würde, die durch teilbar ist 29 # (es sei denn, eine der Primzahlen ist selbst 29). Tatsächlich trägt dies zu der erwarteten Schwierigkeit bei, eine solche arithmetische Progression zu finden.

Antworten (2)

Angenommen, Sie möchten eine arithmetische Folge von sechs Primzahlen konstruieren und die Differenz ist kein Vielfaches von 5 . Sie beginnen mit, sagen wir, 7 und fahren Sie mit einer Differenz von fort 12 generieren 7 , 19 , 31 , 43 , 55 , 67. Uh-oh, du hast ein Vielfaches von 5 .

Das liegt daran, dass der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen kein Vielfaches von ist 5 , die Folge modulo 5 wird zwangsläufig alle Residuen modulo durchlaufen 5 und so treffen Sie unweigerlich auf Null Modulo 5.

Sie könnten dies vermeiden, indem Sie verwenden 5 selbst als Vielfaches von 5 , aber dann 5 muss die Sequenz beginnen und Sie finden, dass der sechste Term ein Vielfaches von ist 5 wieder, diesmal zusammengesetzt. Mit einem Unterschied von 12 wie zuvor, erhalten Sie 5 , 17 , 29 , 41 , 53 , 65. Du hast angefangen mit 5 und machte dann fünf Inkremente mit einer gemeinsamen Differenz von 12 , konnte also ein weiteres Vielfaches von nicht vermeiden 5.

Sie erhalten ähnliche Probleme mit Unterschieden, die kein Vielfaches von sind 2 oder 3. Um eine Folge von Primzahlen mit einer Länge von sechs Gliedern zu erhalten, muss die Differenz durch alle teilbar sein 2 , 3 , 5 und damit teilbar durch 5 # = 30. Der Ablauf 7 , 37 , 67 , 97 , 127 , 157 macht es mit einem Unterschied von genau 30.

Probieren Sie diese Logik jetzt mit einer Sequenz aus, die ist 24 primes long und den Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Termen ableiten muss alle Primfaktoren bis einschließlich haben 23.

Was genau ist die allgemeine Aussage, von der Ihr zweiter Absatz ein Sonderfall ist, und wie können Sie das beweisen?

Gegeben eine arithmetische Progression A , A + D , … , A + ( N − 1 ) D und eine Primzahl P ≤ N mit P ∤ D , mindestens einer der A + k D wird ein Vielfaches von sein P .

Diese Aussage ist für mich intuitiv, aber wie können wir sie beweisen?
Technisch ggf A = P Sie könnten eine Folge von haben P Primzahlen mit gemeinsamem Unterschied kleiner als P ursprünglich. Probieren Sie fünf Begriffe mit aus A = 5 Und D = 12 . Wenn Sie jedoch in ein sechstes Semester gehen, erhalten Sie ein weiteres Vielfaches von 5 die jetzt zusammengesetzt ist, und allgemeiner P + 1 Begriffe garantieren eine zusammengesetzte Zahl, es sei denn, die gemeinsame Differenz ist ein Vielfaches von P ursprünglich.
Warum taucht die Primzahl 23#23#23\# so oft in langen Primzahl-Arithmetikfolgen auf?
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