Unendlich viele Primzahlen der Form 4n+34n+34n+3 Beweis

Also habe ich diesen Beweis überall verputzt gesehen, und hier ist eine Version davon aus meinem Lehrbuch. Egal wo ich lese, ich verstehe keinen Schritt des Beweises, und ich werde unten hervorheben. Es hat sicherlich etwas mit dem Lemma zu tun, das for aussagt X = j + z , Wenn A ∣ j Und A ∣ z , Dann A ∣ X . Danke schön.

Tatsache: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4 N + 3 , Wo N ist eine positive ganze Zahl.

Beweis: Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen der Form gibt 4 N + 3 , sagen P 0 = 3 , P 1 , P 2 , . . . , P R .
Lassen

Q = 4 P 1 P 2 ⋅ ⋅ ⋅ P R + 3.
Dann gibt es mindestens eine Primzahl in der Faktorisierung von Q des Formulars 4 N + 3 . Andernfalls wären alle diese Primzahlen von der Form 4 N + 1 , und nach Lemma 2.6 würde dies das implizieren Q auch diese Form haben, was ein Widerspruch ist. Allerdings keine der Primzahlen P 0 , P 1 , . . . P N teilt Q . Der Premierminister 3 teilt sich nicht Q , wenn 3 | Q , Dann 3 | ( Q − 3 ) = 4 P 1 P 2 . . . P R , (Wie haben sie das erreicht? Ich verstehe nicht warum 3 teilt sich nicht 4 P 1 P 2 . . . ! ) , was ein Widerspruch ist.

Ebenso keine der Primzahlen P J teilen kann Q , Weil P J | Q impliziert P J | Q − ( 4 P 1 P 2 . . . P R ) = 3 was absurd ist. Daher gibt es unendlich viele Primzahlen der Form 4 N + 3 .

Wenn 4p1p2...pr durch 3 geteilt wird, muss mindestens eins durch 3 geteilt werden, aber p1,...,pr>3 wie definiert. Betrachten Sie 4=2 mal 2. Und 2 2 p1p2...pr sind nur eine Primfaktorzerlegung dieser Zahl. Und diese Faktorisierung muss eindeutig sein. Also müssen 3 drin sein.
Die Konstruktion entfällt P 0 = 3 .
@stephenkk Könnte man sagen, dass p_1, ... p_r nicht durch 3 teilbar sind, weil sie alle Primzahlen sind? Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Logik nach 4 = 2 * 2 ganz verstehe. Danke
Für jede Zahl n größer als 1 gibt es eine eindeutige Folge von Primzahlen p0,...,pr, so dass n=p0p1...pr. Wenn also 3 eine Primzahl ist, die n teilt, dann muss eine von p0...pr 3 sein, da 3 auch eine Primzahl ist.

Antworten (2)

Es ist eigentlich eine Neuordnung (oder Änderung) dieses Lemmas:

X = j + z ⟹ X − j = z ∧ X − z = j

Also rechnen wir das aus:

A ∣ X ∧ A ∣ j ⟹ A ∣ z
Und
A ∣ X ∧ A ∣ z ⟹ A ∣ j

Dies entspricht

A ∤ X ∧ A ∣ j ⟹ A ∤ z
Und
A ∤ X ∧ A ∣ z ⟹ A ∤ j

Ich sage lieber, die Primzahlen in der Liste sind 4 N − 1 , dann definieren

Q = 4 P 1 P 2 ⋅ ⋅ ⋅ P R − 1.

Unendlich viele Primzahlen der Form 4n+34n+34n+3 Beweis
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