Zeigen Sie, dass am Ende eine gerade ganze Zahl existiert

Lassen$S_k = \text{Sum of terms left in the sequence after k moves}$. Dann$S_0 = \sum_{i=1}^{n}(4i - 1) = 2n(n+1)-n = n(2n+1)$.

Im Folgenden ersetzt jede Bewegung$x,y$von$x-y$Und$S_{k+1} = S_k-x-y+x-y = S_k -2y$.

Offensichtlich ist die Parität (Geradheit/Ungerade) von$S_i$ändert sich nicht von ungerade zu ungerade und$S_n =$letzten Begriff in Folge. Der letzte Term ist ungerade wenn$n(2n+1)$ist und auch sonst.

Angenommen, die Spielregeln lauten, dass beim Auswählen von zwei Zahlen in der Liste beide Einträge zerstört und durch zwei Einträge ersetzt werden, die der Differenz zwischen ihnen entsprechen. Außerdem dürfen Sie zwei beliebige Zahlen auswählen (auch solche, die gleich sind oder zuvor ausgewählt wurden). Zum Beispiel: 3,7,11,15: Wählen Sie den ersten und den zweiten$\mapsto$4,4,11,15. (Andernfalls macht die Problemstellung keinen Sinn, da das Spiel sonst eine endliche Länge von streng kleiner als hat$n$und konnte nicht rennen$4n-2$Schritte).

Lassen$e$sei die Anzahl der Einträge, die gerade Zahlen sind, und$o$sei die Anzahl der Einträge, die ungerade Zahlen sind (Duplikate erlaubt). Wir haben das$e+o=n$. Zu Beginn der ersten Kurve haben wir$o=n, e=0$

In jeder Runde haben Sie die Wahl zwischen drei Dingen:

• Wählen Sie zwei gerade Zahlen (nur erlaubt, wenn$e\geq 2$). Ihr Unterschied ist gleichmäßig, und deshalb$e$Und$o$bleibt gleich.
• Wählen Sie eine gerade und eine ungerade Zahl (nur erlaubt, wenn$e\geq 1$Und$o\geq 1$). Ihr Unterschied ist seltsam, und deshalb$e$verringert sich um eins und$o$erhöht sich um eins.
• Wähle zwei ungerade Zahlen (nur erlaubt, wenn$o\geq 2$). Ihr Unterschied ist gleichmäßig, und deshalb$e$erhöht sich um zwei und$o$verringert sich um zwei.

Wenn nach unserem$4n-2$Schritte besteht unsere Liste ausschließlich aus ungeraden ganzen Zahlen, was bedeutet, dass wir die zweite Option doppelt so oft gewählt haben wie die dritte Option.

Wir fragen uns, ob das möglich ist. Es ist wirklich. Lassen$a$sei die Häufigkeit, mit der wir Option 1 verwenden,$b$sei die Häufigkeit, mit der wir Option 2 verwenden, und$c$sei die Häufigkeit, mit der wir Option 3 verwenden. Dann könnten wir verwenden$b=2, c=1, a=(4n-2)-3=4n-5$.

Beispiel:

$\begin{array}{cccc|c} 3 & 7 & 11 & 15 & \text{pick first and second}\\ 4 & 4 & 11 & 15 & \text{pick first and second}\\ 4 & 4 & 11 & 15 & \text{pick first and second}\\ \vdots&\text{a total of}~4n-5=11~\text{times}\\ 4 & 4 & 11 & 15 & \text{pick first and third}\\ 7 & 4 & 7 & 15 & \text{pick second and fourth}\\ 7 & 11 & 7 & 11 & \text{end}\end{array}$

Daher ist die Behauptung falsch und es ist nicht garantiert, dass Sie mit irgendwelchen Geraden in der Liste enden (obwohl dies sicherlich möglich ist).