Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die primitive Wurzeln modulo NNN sind

Vorausgesetzt$N$eine Primitivwurzel hat, zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo Primitivwurzeln sind$N$.

Es ist offensichtlich wahr, wenn man den Satz von Dirichlet über Primzahlen verwendet, aber ich möchte ohne dies beweisen. Es gibt einen Hinweis:

Versuchen Sie, den Beweis nachzuahmen, dass es unendlich viele Primzahlen der Form gibt$3n-1$,$4n+3$oder$5n\pm 2$.

Dieser Beweis lautet im Wesentlichen wie folgt:

• Wenn$N=q_1\cdots q_s$ist, sagen wir, kongruent zu 3 modulo 4, dann einer von$q_i$sollte kongruent zu 3 modulo 4 sein.
• Listen Sie alle solche Primzahlen auf$p_1,\cdots,p_r$, und lass$N = \alpha p_1\cdots p_r + C$für einige$\alpha$Und$C$so dass$N$kann durch keine von geteilt werden$p_i$aber es muss einen Primfaktor der gegebenen Form haben, was zu einem Widerspruch führt.

Ich habe es versucht, konnte aber beide Schritte nicht zeigen:

• Kann ich das herleiten, wenn$M = q_1\cdots q_s$ist eine primitive Wurzel modulo$N$dann einer von$q_i$ist auch ein primitives Wurzelmodulo$N$?
  • Gegenbeispiel von Robert:$2$Und$6$sind keine primitiven Roots-Mods$7$, Aber$2\cdot 6=12$Ist.
  • Was ist, wenn$q_i$sind Primzahlen?
    • Gegenbeispiel von Annyeong:$52=2\cdot 2\cdot 13\equiv 3 \pmod 7$ist eine primitive Wurzel aber$2$Und$13\equiv 6$sind nicht modulo$7$.
  • Gibt es eine andere Methode, um den ähnlichen Beweis zu erhalten? Ich finde$N$sollte eine Art Polynom von sein$p_1\cdots p_r$, wie im Beweis für$2kp+1$-Primzahlen
• Wie man wählt$\alpha$Und$C$über?
• Wir können auf diese Weise von Murty nicht beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die zu einer bestimmten primitiven Wurzel kongruent sind. (Siehe den Kommentar unten von Vincent.)

Jegliche Hilfe und Hinweise sind willkommen!

Update : Professor hat dieses Problem aus den Hausaufgaben zurückgezogen.