Beweis, dass man ein Vielfaches von 10 erhält, indem man arithmetische Operationen mit drei beliebigen Zahlen anwendet

Lassen Sie uns einige der nützlichen Beobachtungen sammeln, die im OP erwähnt und impliziert werden:

1. Lediglich die Rückstandsklasse von$a,b,c$Mod$10$Angelegenheiten.
2. Wenn einer von$a,b,c$ist teilbar durch$5$dann gibt es eine lösung.
3. Wenn eine Teilmenge von$\{a,b,c\}$eine Lösung hat, dann auch$\{a,b,c\}$.

Als Folge des Vorstehenden können wir davon ausgehen, dass WLOG dies tut$\{a,b,c\}$sind verschiedene einzelne Ziffern aus$1,2,3,4,6,7,8,9$.

Mit etwas mehr Aufwand können wir das rechtfertigen$a$kann ersetzt werden durch$-a$, wodurch wir uns weiter auf die Ziffern beschränken können$1,2,3,4$. Es ist nicht allzu schwer, sich davon zu überzeugen, indem man mit einigen Beispielen herumspielt, aber lassen Sie uns einen ordentlichen Beweis durch strukturelle Induktion geben. Genauer gesagt beweisen wir:

Vorschlag: Let$f(x_1,\ldots,x_n)$ein vollständig eingeklammerter Ausdruck sein, der each verwendet$x_i$genau einmal und nur$+,-,*$Betreiber. Dann mindestens einer von$-f$oder$f$kann als ähnlicher Ausdruck mit geschrieben werden$-x_1,x_2,\ldots,x_n$genau einmal.

Das ist trivial für$n=1$, und für$n=2$Wir überprüfen schnell jeden der vier möglichen Ausdrücke von zwei Variablen:

$$-(a+b) = (-a)-b,\\-(a-b) = (-a)+b,\\(b-a) = b+(-a),\\-(a*b) = (-a)*b.$$

Wir können jetzt eine strukturelle Induktion machen: annehmen$n\ge 3$. Durch Extrahieren des Operators der höchsten Ebene von$f(x_1,\ldots, x_n)$, dürfen wir schreiben$f$als$h(g_1(\cdots),g_2(\cdots))$, wo jeder von$g_1,g_2,h$gültige Ausdrücke sind, und die Argumente von$g_1, g_2$partitioniere die Menge$\{x_1,\ldots,x_n\}$. Ich habe die Argumente absichtlich verschleiert, weil die Notation unhandlich wird, da die Idee besser durch ein einfaches Beispiel veranschaulicht wird:

Wenn$f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = ((x_1 * x_5) + x_2) - (x_3 - x_4)$, dann nehmen wir

$$h(a,b) = a-b,\quad g_1 = (x_1 * x_5) + x_2,\quad g_2 = x_3 - x_4.$$

Beachten Sie, dass$h,g_1,g_2$jede Aufnahme$<n$Argumente, so dass wir die induktive Hypothese beliebig auf sie anwenden könnten. Jetzt,$x_1$gehört zu genau einem von$g_1$oder$g_2$. Durch Anpassen$h$, können wir davon ausgehen, dass es zu WLOG gehört$g_1$. Auch nicht per Hypothese$-g_1$oder$g_1$kann in Bezug auf geschrieben werden$-x_1$und die restlichen Argumente von$g_1$. Wenn ja$g_1$das mag so geschrieben sein, dann sind wir da fertig$f=h(g_1,g_2)$kann in Bezug auf geschrieben werden$-x_1,x_2,\ldots,x_n$. Andernfalls wenden Sie die Induktionshypothese erneut auf an$h$auch das zu sehen$f=h(g_1,g_2)$oder$-f=-h(g_1,g_2)$kann in Bezug auf geschrieben werden$-g_1$Und$g_2$, und damit auch in Bezug auf$-x_1,x_2,\ldots,x_n$.

Der obige Satz lässt uns frei ersetzen$9$von$-9$(was gleichbedeutend ist mit$1$) usw., und so können wir die Menge eingrenzen$\{a,b,c\}$zu einer Teilmenge von$\{1,2,3,4\}$. Zum Glück gibt es nur vier solcher Teilmengen:

$$(1 + 2 - 3) = 0,\\ (1 + 4)*2 = 10,\\ (1 + 3 -4) = 0,\\ (2+3)*4 = 20.$$

Wenn Sie dies für alle Tripel einstelliger Zahlen direkt verifiziert haben, dann haben Sie es bewiesen. Weil Sie sich nur um eine arithmetische Kombination kümmern, die macht$0$Mod$10$, also beweist der Beweis für einstellige Zahlen die größere Behauptung.

Ohne eine direkte Überprüfung alle berücksichtigen$10^3$Tripel von einstelligen Zahlen. Wenn$0$im Tripel ist, dann ist die Multiplikation aller drei ein Vielfaches von$10$.

Betrachten Sie also jetzt alle$9^3$Tripel von 1--9. Wenn$5$im Tripel ist, dann sind entweder die beiden anderen Zahlen ungerade und Sie können multiplizieren$5(\text{odd}+\text{odd})$um ein Vielfaches davon zu bekommen$10$; oder mindestens einer der anderen ist gerade und Sie können alle drei multiplizieren, um ein Vielfaches von zu erhalten$10$.

Betrachten Sie also jetzt alle$8^3$Tripel von 1--4,6--9. Wenn eine Zahl im Tripel zweimal vorkommt, ist der Unterschied gleich$0$, und diese Differenz multipliziert mit der dritten Zahl ist ein Vielfaches von$10$.

Betrachten Sie also jetzt alle$\binom{8}{3}$Tripel von 1--4,6--9 ohne Wiederholung. Wenn eine Zahl und ihr Komplement mod$10$beide im Tripel sind, dann summiere diese und multipliziere mit dem Drittel, um ein Vielfaches von zu erhalten$10$.

Betrachten Sie also jetzt alle$\binom{4}{3}\cdot2^3$Tripel von 1--4,6--9 ohne Wiederholung, wo keine zwei Zahlen summieren$10$. Wir sind nur unten$32$Triples zu berücksichtigen, und sie direkt zu inspizieren ist nicht so schlimm. Betrachten Sie zunächst die$16$Tripel mit zwei oder drei Mitgliedern von 1--4.

$$\underline{12}3\ \color{magenta}{\underline{1}2\underline{4}}\ \color{orange}{\underline{1}2\underline{6}}\ \color{blue}{127}\ \underline{13}4\ \color{blue}{136}\ 1\underline{38}\ 1\underline{47}\ \color{magenta}{\underline{14}8}\ \color{magenta}{\underline{23}4}\ \color{magenta}{\underline{23}6}\ 2\underline{39}\ \color{orange}{\underline{2}4\underline{7}}\ \color{orange}{2\underline{49}}\ \color{orange}{\underline{3}4\underline{8}}\ 3\underline{49}$$

Blaue Summe zu$0$Mod$10$.

Magenta hat ein (unterstrichenes) Paar dieser Summe$5$(oder$15$) und die dritte Zahl gerade ist, sodass Summe mal dritte Zahl ein Vielfaches von ist$10$.

Orange hat ein (unterstrichenes) Paar, dessen Differenz ist$5$und die dritte Zahl ist gerade, so dass die Differenz multipliziert mit der dritten Zahl ein Vielfaches von ist$10$.

Die verbleibenden Schwarzen haben alle ein (unterstrichenes) Paar, das die dritte Summe ergibt (mod$10$), also ergibt das Addieren dieses Paares und das Subtrahieren des dritten ein Vielfaches von$10$.

Beachten Sie, dass wir die Tripel mit zwei oder mehr in 6–9 erhalten, wenn wir alle Mitglieder eines dieser Tripel negieren. Dieselben Operationen ergeben ein Vielfaches von$10$da wir immer nur entweder addieren und subtrahieren [mit blau und schwarz], oder addieren/subtrahieren und dann mit einer geraden Zahl multiplizieren [mit magenta und orange]. Also haben wir alle indirekt überprüft$32$der verweilenden Fälle.

Hinweis: Diese Antwort konzentriert sich darauf, die Anzahl der zu untersuchenden Varianten zu reduzieren, indem konsequent modulare Arithmetik verwendet wird .

• $a,b,c\in\mathbb{Z}$

Wir suchen ein Vielfaches von$10$beim Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren. Seit wir ... Haben

$$\begin{align*} (a\, \mathrm{mod}\, (10)) + (b\, \mathrm{mod}\, (10)) &\equiv (a+b)\, \mathrm{mod}\, (10) \\ (a\, \mathrm{mod}\, (10)) - (b\, \mathrm{mod}\, (10)) &\equiv (a-b)\, \mathrm{mod}\, (10) \\ (a\, \mathrm{mod}\, (10)) \cdot (b\, \mathrm{mod}\, (10)) &\equiv (a\cdot b)\, \mathrm{mod}\, (10) \\ \end{align*}$$

es reicht zu überlegen$\color{blue}{a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$.

• $a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Wenn zwei der drei Zahlen modulo kongruent sind$10$, sagen wir$a\equiv b\, \mathrm{mod}\, (10)$wir erhalten

$$\begin{align*} \color{blue}{(a-b)\cdot c}\equiv 0\cdot c\color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

und wir sind fertig. Im Folgenden darf WLOG davon ausgehen:$a<b<c$

• $a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},a<b<c$

Wenn einer von ihnen, sagen wir mal$a$Null ist, erhalten wir

$$\begin{align*} \color{blue}{a\cdot b\cdot c}&\equiv 0\cdot b\cdot c \color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

und wir sind fertig.

• $a,b,c\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, a<b<c$

Wenn einer von ihnen, sagen wir mal$a$ist gleich$5$wir betrachten zwei Fälle.

Erster Fall: Einer von$b$oder$c$ist gerade. Angenommen$b$ist gerade. Es folgt

$$\begin{align*} a&\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (5)\\ b&\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (2)\\ ab&\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)\\ \end{align*}$$ und wir erhalten $$\begin{align*} \color{blue}{a\cdot b\cdot c}&\equiv 0\cdot c \color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

Zweiter Fall: Beide,$b$Und$c$sind seltsam. Es folgt von

$$\begin{align*} b\equiv 1\, \mathrm{mod}\, (2)\\ c\equiv 1\, \mathrm{mod}\, (2)\\ (b+c)\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (2)\\ \end{align*}$$

und wir erhalten

$$\begin{align*} \color{blue}{a\cdot (b+c)} \color{blue}{\equiv 0\, \mathrm{mod}\, (10)} \end{align*}$$

• $a,b,c\in\{1,2,3,4,6,7,8,9\}, a<b<c$

Seit

$$\begin{align*} 1\equiv (1-10)\equiv (-9)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ 2\equiv (2-10)\equiv (-8)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ 3\equiv (3-10)\equiv (-7)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ 4\equiv (4-10)\equiv (-6)\, \mathrm{mod}\, (10)\\ \end{align*}$$

auf die wir die Aufmerksamkeit beschränken können$\color{blue}{a,b,c\in\{1,2,3,4\},a<b<c}$.

• $a,b,c\in\{1,2,3,4\}, a<b<c$

Dieser Fall wird in der Antwort von @ErickWong bereits gut berücksichtigt.

Fazit: Rechnen mit drei ganzen Zahlen$a,b,c\in\mathbb{Z}$, die jeweils einmal vorkommen und eine oder mehrere der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Negation verwenden ($a \rightarrow -a$) können wir immer einen ganzzahligen Wert erhalten, der ein Vielfaches von ist$10$.