Zeigen Sie, dass es unendlich viele positive ganzzahlige Paare (m,n)(m,n)(m,n) gibt st m+1n+n+1m∈Nm+1n+n+1m∈N\frac{m+1}{n }+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N} [duplizieren]

Ich werde alle Paare finden$(m,n)$von positiven ganzen Zahlen, so dass

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\in\mathbb{N}.$$ Lassen$k$sei eine solche positive ganze Zahl für die $$\dfrac{m+1}{n}+\dfrac{n+1}{m}=k\tag{1}$$ für einige$m,n\in\mathbb{N}$. Beachten Sie, dass$t=m$ist eine Lösung für $$t^2-(kn-1)t+(n^2+n)=0.$$ Es gibt jedoch eine andere Wurzel$t=kn-1-m=\dfrac{n^2+n}{m}$, was eine ganze Zahl wie ist$kn-1-m\in\mathbb{Z}$, und was seit dem positiv ist$\dfrac{n^2+n}{m}>0$. Also wenn$(m,n)$eine positive ganzzahlige Lösung von (1) ist, dann$(n,kn-1-m)=\left(n,\dfrac{n^2+n}{m}\right)$ist auch eine positive ganzzahlige Lösung.

Nun stell dir das vor$(m_0,n_0)$ist eine Lösung von (1) so dass$m_0\geq n_0$Und$m_0+n_0$ist kleinstmöglich. Wenn$m_0>n_0$, wir sehen das$\left(n_0,\dfrac{n_0^2+n_0}{m_0}\right)$ist auch eine Lösung, aber

$$n_0+\frac{n_0^2+n_0}{m_0}=n_0+n_0\left(\frac{n_0+1}{m_0}\right)\leq n_0+n_0<m_0+n_0\,.$$ Dies widerspricht der Minimalität von$m_0+n_0$, und so$m_0=n_0$halten muss. Daher, $$k=\frac{m_0+1}{m_0}+\frac{m_0+1}{m_0}=2+\frac{2}{m_0}\,.$$ Das ist,$(m_0,n_0)=(1,1)$(was gibt$k=4$), oder$(m_0,n_0)=(2,2)$(was gibt$k=3$).

Im ersten Fall,$m_0=n_0=1$Und$k=4$. Definiere eine Reihenfolge$(a_0,a_1,a_2,\ldots)$indem$a_0=1$,$a_1=1$, Und

$$a_{r}=4a_{r-1}-a_{r-2}-1$$ für$r=2,3,4,\ldots$. Daraus folgt, dass alle Lösungen$(m,n)$mit$k=4$so dass$m\leq n$sind von der Form$(a_{r},a_{r+1})$für einige$r=0,1,2,\ldots$. Zum Beispiel,$a_2=2$,$a_3=6$,$a_4=21$, Und$a_5=77$.

Im zweiten Fall$m_0=n_0=2$Und$k=3$. Definiere eine Reihenfolge$(b_0,b_1,b_2,\ldots)$indem$b_0=2$,$b_1=2$, Und

$$b_r=3b_{r-1}-b_{r-2}-1$$ für$r=2,3,4,\ldots$. Daraus folgt, dass alle Lösungen$(m,n)$mit$k=3$so dass$m\leq n$sind von der Form$(b_{r},b_{r+1})$für einige$r=0,1,2,\ldots$. Zum Beispiel,$b_2=3$,$b_3=6$,$b_4=14$, Und$b_5=35$.

Gleichung:

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=a$$ Sie können mit der Pell-Gleichung lösen:$p^2-(a^2-4)s^2=1$Dann sind die Lösungen:

$$n=2(p-(a+2)s)s$$

$$m=-2(p+(a+2)s)s$$

Und weitere Lösungen:

$$n=\frac{2p(p+(a-2)s)}{a-2}$$

$$m=\frac{2p(p-(a-2)s)}{a-2}$$

Sie können auch die Lösungsformel schreiben, wenn der Koeffizient so ist, dass die Gleichung$p^2-(a^2-4)s^2=4$und seine Entscheidungen auszunutzen. Dann hat die Formel die Form:

$$n=\frac{p-(a-2)s+2}{2(a-2)}$$

$$m=\frac{p+(a-2)s+2}{2(a-2)}$$