Hängt für Primzahlen ppp das Legendre-Symbol (5p)(5p)(\frac {5}{p}) nur von der Kongruenzklasse von ppp modulo 555 ab?

Ja, durch Gegenseitigkeit und die Tatsache $5$ist von der Form $4k+1$.

Warum ist von der Form $4k +1$bedeutet, dass es nur von der Kongruenzklasse von abhängt $p$modulo $5$?

Denn wenn mindestens einer von $q$oder $p$ist deckungsgleich mit $1$Mod $4$, Dann $(q/p)=(p/q)$.

Ich weiß, dass das wahr ist, aber ich verstehe nicht, wie das impliziert, dass dies von der Kongruenzklasse von abhängt $p$modulo $5$.

Lassen $q=5$, oder eine beliebige Primzahl, und let $a$nicht durch teilbar sein $q$. Dann per Definition $a$ist ein QR-Modulo $q$wenn und nur wenn es eine gibt $x$so dass $x^2\equiv a\pmod{q}$. Nun lass $b\equiv a\pmod{q}$, Da ist ein $x$so dass $x^2\equiv b\pmod{q}$wenn und nur wenn es eine gibt $x$so dass $x^2\equiv a\pmod{q}$, denn wir verwenden dasselbe $x$.